Quelle est la signification physique du groupe Heisenberg?

Vous aimerez peut-être voir:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf chapitre 13,

ie les conférences « Mécanique quantique pour les mathématiciens: le groupe Heisenberg et le Représentation Schrodinger « de Peter Woit, dans laquelle la signification du groupe de Heisenberg est discutée en détail. Mais sa signification physique nest PAS en tant que groupe de symétries de la situation physique. Faites donc attention aux analogies étroites entre la relation de commutation canonique et le fini ( dire $ n $ ) groupe de Lie Hiesenberg dimensionnel $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . La chose sur le RHS de la relation $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ dans lalgèbre de dimension finie $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ nest PAS la matrice didentité – cest simplement quelque chose qui commute avec tout le reste de lalgèbre de Lie. Cest Hermann Weyl qui a souligné que la relation de commutation canonique ne peut pas faire référence à une algèbre de Lie de dimension finie: dans de telles algèbres, une parenthèse de Lie $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (entre les matrices carrées) a zéro trace mais la matrice identité (ou un multiple scalaire, comme sur le RHS du CCR) nen a pas. Il faut passer aux opérateurs sur des espaces de Hilbert de dimension infinie ( $ eg $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) pour trouver la pleine réalisation de la relation de commutation canonique.

Une autre façon de comprendre que le comportement de lalgèbre de Heisenberg à matrice de dimension finie est radicalement différent du CCR est le principe dincertitude lui-même. Le produit des incertitudes RMS pour des mesures simultanées à partir de deux observables non navetteurs $ \ hat {a}, \ hat {b} $ étant donné un état quantique $ \ psi $ est délimité par le bas par le nombre réel positif $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ où $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (voir la section 10.5 de lédition 3 de Merzbacher « Quantum Mechanics »). Si $ c $ est une matrice carrée finie, et, comme dans lalgèbre de Heisenberg, elle nest pas de rang complet, il y a certains états (ceux de $ c $ « s nullspace) où le produit dincertitude peut être nul. Ainsi, lalgèbre matricielle de dimension finie ne peut » t modéliser le postulat physique de Heisenberg « .

Voir aussi larticle Wikipedia sur le groupe Heisenberg.

Commentaires

• Commentaire mineur à la réponse (v2): Le signe dans la représentation Schroedinger affichée de $ p $ nest pas le signe conventionnel.