Le signal de pas unitaire défini comme
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
a trois solutions possibles pour sa représentation du domaine de Fourier en fonction du type dapproche. Ce sont les suivants –
- Lapproche largement suivie (Oppenheim Textbook) – calculer la transformée de Fourier de la fonction détape unitaire à partir de la transformée de Fourier de la fonction signum.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Transformée de Fourier calculée à partir de la transformée en Z de la fonction détape unitaire (reportez-vous au manuel Proakis, Digital Signal Processing Algorithms and applications , pages 267, 268 section 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Transformée de Fourier calculée par division en fonctions paires et impaires – suivie dans Proakis Textbook (Reportez-vous au Proakis Textbook, Algorithmes et applications de traitement numérique du signal , page 618 section 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
La 2ème représentation peut être ignorée car ce nest pas une fonction bien comportée . Mais les approches suivies par Proakis et Oppenheim sont également valables (elles étendent la transformée de Fourier pour inclure des impulsions dans le domaine fréquentiel) Mais la confusion est quelles fournissent des solutions différentes.
Y a-t-il une erreur dans ma compréhension? ou est-ce que je manque un point crucial? Veuillez maider à comprendre ceci et le formulaire correct qui peut être utilisé dans toutes les applications. (Jai trouvé que lapproche Oppenheim est utilisée pour dériver les relations Kramers-Kronig et lapproche Proakis utilisée dans la dérivation de la transformée de Hilbert)
Réponse
Notez que la première expression est la transformée de Fourier du pas unitaire continu $ u (t) $, donc il » nest pas applicable à la séquence de pas discrets $ u [ n] $. De plus, les deuxième et troisième expressions sont toutes les deux correctes, et elles sont identiques si vous tenez compte du fait que la deuxième expression ne revendique pas de validité à des multiples entiers de $ 2 \ pi $.
Si on laisse de côté les fréquences angulaires aux multiples de $ 2 \ pi $, la troisième expression devient
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
qui est identique à la deuxième expression.
Commentaires
- Merci beaucoup! Oui, les deuxième et troisième sont équivalents mais dans le troisième, ils ont une composition en incluant limpulsion aux pôles. Merci pour la clarification
Réponse
Comme Matt la dit, la deuxième et la troisième définition sont les mêmes sauf pour la partie avec impulsion. Limpulsion ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) représente la valeur DC de $ u [n] $ . Sans ce terme (cest-à-dire la deuxième définition), cest en fait le FT de $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Nous avons $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Et donc le FT de $ u [n] $ a le terme supplémentaire pour tenir compte de lajout de $ \ frac {1 } {2} $ . De plus, le temps discret FT (ou DTFT) de $ u [n] $ est correctement écrit comme $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
La première définition, $ U (j \ omega) $ est le « temps continu « FT (ou CTFT) de $ u (t) $ (pas $ u [n] $ ) et donc différent des deux autres définitions.