Jusquici dans notre cours, nous avons défini les opérateurs de création $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ dans le façon suivante, que nous avons dit:
Quelquun vous a obtenu un état de particules N antisymétriques ou symétriques et maintenant $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ met une autre particule dans létat n, de sorte que nous finissons avec un état de particules N + 1 symétrique / antisymétrique. Cette interprétation est en quelque sorte claire pour moi dans le sens où ces opérateurs $ a ^ {\ dagger}, a $ évitent les déterminants fastidieux slater et ainsi de suite. Malgré cela, nous avons encore affaire à des états de produit symétrisés / antisymétrisés bien définis qui deviennent étendus ou réduits dun état, qui sont cachés derrière cette notation.
Maintenant, nous avons également défini les opérateurs de champ dans QM par $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {all states}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Nous avons dit quils créent une particule à la position $ r $ . Dune manière ou dune autre, ce que cela signifie nest pas clair pour moi:
Créer une particule à une position exacte $ r_0 $ dans QM signifierait que nous avons maintenant un état supplémentaire $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ dans notre déterminant slater. Je doute que ce soit lidée derrière tout cela. Mais, puisque les opérateurs $ a_i ^ {\ dagger} $ agissent sur létat des particules $ N $ et mappent sur les états des particules $ N + 1 $, il doit en être de même pour $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Néanmoins, jai des difficultés à interpréter le résultat.
Si quelque chose nest pas clair, merci de me le faire savoir.
Réponse
Les $ \ psi_i $ de votre somme nont pas besoin dêtre des fonctions delta. Vous pouvez penser par exemple comme il sagit de fonctions propres énergétiques $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$ donc créer une particule à $ r $ signifie que vous obtenez une superposition de toutes les voies possibles une particule peut être à $ r $ (dans ce choix particulier de base): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {opérateur}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {nombres complexes}} | i \ rangle $$ où $ | 0 \ rangle $ est létat du vide (ou létat fondamental si vous le souhaitez) et $ | i \ rangle $ est le état de Fock avec une particule dans le n-ième mode. Vous pouvez considérer cette équation comme indiquant le pour chaque $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ est lamplitude de probabilité de trouver la particule à la position $ r $ si vous savez quelle est dans létat $ i $.
Commentaires
- Linterprétation de la création dune superposition de toutes les manières possibles pour une particule datteindre la position $ r $ me semble significative. Je veux dire, ce que nous faisons, si je vous ai bien compris, cest que nous créons une particule dans nimporte quel état propre et cherchons lamplitude de probabilité que cette particule soit à la position $ r $. Ce que je ne vois ' pas, cest comment cette notion est liée à la création réelle dune particule à la position $ r $. Si vous y réfléchissez, ce sont deux choses différentes. Pourriez-vous essayer dexpliquer ce que nous voulons modéliser avec cet opérateur de champ?
- Cela dépend vraiment du contexte. Linterprétation de la " particule " nest pas toujours adaptée, plus généralement vous pouvez considérer ces opérateurs comme créant / annihilant des états quantiques. Dans le contexte de QFT, ces états sont en effet (généralement) des états de particules et $ | 0 \ rangle $ létat sans particules, et donc la terminologie. Mais par exemple dans NRQM ce nest souvent pas vrai, et l " état de vide " nest dans ce cas que létat fondamental du système . Ils " créent " / " détruisent " en ce sens quils envoient un espace Fock donné dans un autre avec un état supplémentaire / inférieur de ce type particulier.
Réponse
Pensez-y comme un changement de base. $ a_i ^ \ dagger $ crée une particule dans létat $ | i \ rangle $. Maintenant, cet état $ | i \ rangle $ peut être écrit en termes des états de position $ | r \ rangle $ comme $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ ainsi créer une particule dans cet état équivaut à créer une particule dans une superposition détat de position avec le poids approprié $ \ psi_i (r) $. De manière équivalente, une particule localisée dans $ | r \ rangle $ peut être décrite comme étant dans une superposition détat $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ et créant ainsi une particule dans létat $ | r \ rangle $, lopérateur $ \ psi ^ \ dagger (r) $ est défini par lopérateur $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Commentaires
- désolé, mais cette réponse est très déroutante. vous semblez résumer les positions. Remarquez, cette position nest pas discrète! Ainsi, jai de sérieux problèmes pour comprendre votre $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: que ' s juste des notations (pensez à une version discrétisée de lespace). Mais je viens de passer à lintégrale, si cela vous fait vous sentir mieux.