Quest-ce que la résolution de fréquence?

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Jai réalisé que ma définition ci-dessous de  » Résolution de fréquence  » est complètement faux (ainsi que la question de OP). La résolution de fréquence correspond à la similitude de l’amplitude de la fonction fenêtre dans l’espace fréquentiel avec la fonction delta de Dirac. En effet, le produit de la fenêtre et du signal dans le domaine temporel devient une convolution dans le domaine fréquentiel ( et une convolution avec la fonction delta de Dirac est un échantillonnage qui donnerait une résolution de fréquence parfaite) Plus le lobe principal (quantifié par sa variance) est gros, et plus les lobes latéraux sont élevés, plus la résolution de fréquence est mauvaise. De plus, la résolution temporelle peut être quantifiée en fonction de la variance de la fonction de fenêtre dans le domaine temporel.

La résolution de fréquence nest pas la résolution / largeur du bac. Dans le graphique ci-dessous, notez que les lobes ne se rapprochent pas (résolution de fréquence) même si la largeur de la case diminue.

Crédit: Dan Boschen

La résolution de fréquence est plutôt une propriété de la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire (cest-à-dire la fonction sinc).

Nous devons fenêtrer les fonctions pour travailler avec les transformées de Fourier (même en travaillant théoriquement). En conséquence, nous travaillons toujours avec $ f (t) w (t) $ plutôt quavec la fonction $ f (t ) $ lui-même (ici $ w (t) $ est une fonction rectangulaire). Par le théorème de convolution, la transformée de Fourier dune fonction fenêtrée est toujours une convolution de $ \ hat {f} $ avec $ \ chapeau {w} = $ sinc. Notamment lorsque $ f $ est sinusoïdal, $ \ hat {f} $ sera une fonction delta de Dirac et la convolution sera juste un échantillonnage dune fonction sinc. Ainsi on perd périodiquement des fréquences complètement lors du fenêtrage, la périodicité de cette perte est la résolution de fréquence .

Puisque, sur les fonctions fenêtrées, le DTFT est une approximation périodique du CTFT il acquiert également ces propriétés.

La confusion survient parce que quand on ne rajoute pas de zéros au DFT (ie seulement exemple $ f (t) w (t) $ où $ w (t) = 1 $ ), la largeur du bac est égale à la résolution de la fréquence.

Cependant, nous pouvons également ajouter des zéros (cest-à-dire également un échantillon de $ f (t) w (t) $ où $ w (t) = 0 $ ) et il en résulte que le DTF interpole mieux le DTFT de $ f (t) w (t) $ . Consultez le premier graphique.

Pour voir pourquoi la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire est la fonction a sinc regardez cette vidéo et considérez lenroulement des fonctions sinusoïdales (cest assez compliqué cependant)

Pour répondre à lexemple de OP, la résolution du casier est $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ où $ F_s = 2000 $ Hz est le taux déchantillonnage, et $ N $ la taille du DFT.

La résolution de fréquence est ce que serait la résolution du bac si nous venions déchantillonner dans la fenêtre (pas de remplissage à zéro)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ où $ M $ est le nombre déchantillons dans la fenêtre, $ T $ est la durée de léchantillon et $ F_s = M / T $ .

Commentaires

• Belle réponse Tom.Aussi pour ajouter si ce nest pas clair, nous nutilisons souvent ‘ quune fenêtre rectangulaire, mais dautres fenêtres qui seffilent qui servent à diminuer considérablement les lobes latéraux (améliorer la plage dynamique) au détriment de la dégradation résolution de fréquence plus loin. Lun de mes articles classiques préférés à ce sujet et sur les applications de la DFT en général est de Fred Harris. Je pense que vous ‘ lapprécierez vraiment si vous ne lavez ‘ pas déjà vu: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Bien, dommage que je puisse ‘ voter pour deux fois!
• @TomHuntington Wikipédia ne ‘ semble pas connaître mes formules ou mes techniques. Jai encore des difficultés avec la résolution intrabin (en raison du bruit et de la sensibilité des équations), mais les fréquences proches peuvent être résolues par estimation et élimination itératives. Lorsque vous supprimez le grand ton, le plus petit est estimable. Lorsque vous supprimez le petit ton, vous obtenez une meilleure lecture sur le grand. Et ainsi de suite, même avec plusieurs tons. Tout type de fenêtre complique le calcul.
• Si vous avez deux sinusoïdes damplitude presque égale, mais très proches en fréquence, vous pouvez utiliser le phénomène de battement dans le domaine temporel. La fréquence apparente du signal (par passage par zéro) est la moyenne des deux fréquences et la fréquence de lenveloppe (si vous prenez un cycle complet, par exemple deux lobes) est la moitié de la différence des fréquences.
• De plus, la résolution définit votre précision dans tout ce que vous mesurez. Cela ne dit rien sur la précision.

Cela dépend un peu de ce que vous essayez daccomplir.

Si vous faites une FFT de longueur $ N $ dun signal échantillonné à échantillonné à un taux de $ F_s $ , alors beaucoup de gens diront que votre résolution de fréquence est $ \ frac {F_s} {N} $ . Que ce soit correct ou non, cela dépend vraiment de la façon dont vous définissez exactement la résolution de fréquence et de ce que vous prévoyez d’en faire.

Ce qui se passe réellement, c’est que vous échantillonnez une fonction de domaine de fréquence avec un échantillonnage intervalle de $ \ frac {F_s} {N} $ . Dès que vous choisissez une taille FFT, vous échantillonnez dans les deux domaines avec les intervalles déchantillonnage étant $ \ frac {1} {F_s} $ dans le temps et $ \ frac {F_s} {N} $ en fréquence.

Léchantillonnage dans le domaine fréquentiel a les mêmes propriétés, exigences et problèmes que léchantillonnage dans le domaine temporel, vous pouvez obtenir un aliasing, vous pouvez interpoler, il y a une périodicité supposée dans lautre domaine, etc.

En appliquant simplement le théorème déchantillonnage, nous pourrions affirmer que la résolution de fréquence requise pour caractériser complètement un signal est simplement linverse du longueur dans le domaine temporel. Cela fonctionne bien pour les signaux qui sont intrinsèquement liés au temps, tels que la réponse impulsionnelle dun système LTI.

Cependant, ce nest pas pratique pour les longs signaux continus. Dans ce cas, vous devez choisir une résolution de fréquence qui « est » assez bonne « pour votre application, et cela dépend vraiment des exigences et de lobjectif de votre application spécifique.

Léchantillonnage est donné par $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
La longueur de la fenêtre est de 1000 échantillons.
Puisque la longueur de la fenêtre doit être égale à la longueur des données, nous en déduisons que la longueur des données est de 1000 échantillons ce qui signifie que le temps déchantillonnage est $ 0.5 $ [Sec].

La résolution Bin en DFT est le rapport entre lintervalle déchantillonnage et le nombre de Échantillons DFT, qui dans ce cas est de 2000. La résolution du bac est donc $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

Le binwidth de la FFT ou la résolution de reprééation comme jaime lappeler est Fs / N, où N est la taille de la FFT. La résolution réelle dépendra de la fenêtre que vous utilisez et de la longueur de la fenêtre.

Par exemple: une fenêtre rectangulaire fournira une résolution maximale mais moins de plage dynamique. Dautres fenêtres plus lisses offrent moins de résolution avec une plage dynamique plus élevée ou des lobes latéraux inférieurs.