Quest-ce que la Surface de Fermi ? Jespère que cette question nest pas trop élémentaire pour ce forum, et je mexcuse à lavance si cest le cas.

Permettez-moi dexpliquer ma confusion. Étant donné un solide, je crois avoir un certain sentiment pour le niveau de Fermi. Je peux le comprendre, par exemple, comme le paramètre caractéristique $ \ mu $ dans la distribution de Fermi-Dirac des niveaux dénergie pour les électrons du système: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorant pour le moment les autres interprétations physiques. Ainsi, cest le niveau dénergie unique qui a une probabilité 1/2 dêtre occupé.

La définition de la surface de Fermi, par contre, est généralement donnée comme « liso-surface des états avec lénergie égal au niveau de Fermi « dans lespace tridimensionnel des vecteurs donde $ k $ , par exemple dans cet article de Wikipédia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

En dautres termes, il est défini comme étant ceux $ k $ tel que $$ E (k) = \ mu. $$ Jusquici, tout va bien. Le problème est que je ne comprends pas très bien ce quest $ E (k) $ .

Une situation semble simple, à savoir un Fermi gaz de particules identiques. Alors $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ et la surface de Fermi est une sphère. Cependant, si nous sommes dans un potentiel périodique infini, le modèle idéalisé habituel de la théorie de Bloch, alors les solutions à léquation de Schroedinger sortent sous la forme $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ où $ u_ {kn} $ est une fonction périodique et $ n $ est un indice discret des niveaux dénergie. En dautres termes, pour chaque vecteur donde $ k $ ,

il y a beaucoup de niveaux dénergie $ E_n (k) $ .

Donc léquation pour le La surface de Fermi ressemblerait en fait à $$ E_n (k) = \ mu. $$ Ma question, par conséquent, est quel niveau dénergie est le $ E (k) $ qui se produit dans la définition de la surface de Fermi? Peut-être y a-t-il une surface de Fermi pour chaque niveau $ n $ ? (En supposant que les niveaux varient continuellement sur lespace de momentum, nous permettant dindexer systématiquement les niveaux pour varier $ k $ .)

Si je pouvais élaborez un peu plus ma confusion, je ne comprends pas très bien la définition de cette réponse à cette question:

Quest-ce que la surface de Fermi et pourquoi ce concept est-il si utile dans la recherche sur les métaux?

Il est dit que

« La surface de Fermi est simplement la surface dans lespace des moments où, dans la limite des interactions nulles, tous les états de fermions avec un moment (cristallin) $ | k | < | k_F | $ sont occupés, et tous les états délan supérieurs sont vides. « 

Pour une chose, comme mentionné ci-dessus, pour tout momentum $ k $ , il est une suite infinie détats de fermions. Lautre problème est que je ne suis pas sûr que la déclaration ci-dessus définisse une surface unique, même si je pouvais en quelque sorte choisir un état de fermion $ \ psi (k) $ pour chaque $ k $ auquel la déclaration fait référence. (Jaurais besoin de dessiner une image pour expliquer ce point, ce que je nai pas la compétence de faire.)

Commentaires

  • Le Fermi la surface est définie à une température de zéro absolu, donc vous prenez les solutions de létat fondamental $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Et dans un solide, vous regardez les états dans un ( Wigner-Seitz).
  • Citron: Je trouve cela aussi assez déroutant. Donc votre déclaration serait ‘ La surface de Fermi est lensemble de $ k $ tel que $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ où $ E_0 (k) $ est lénergie la plus basse avec lélan $ k $. Mais alors, dans un solide où beaucoup de les bandes dénergie inférieures sont remplies, il y aurait beaucoup délectrons au-dessus du niveau de Fermi. Cela ne semble pas être en accord avec limage habituelle.
  • Jon Custer: Je suppose que vous ‘ fait référence au fait que chacun des $ u_ {kn} $ est déterminé par sa valeur dans une cellule. Cela ‘ est vrai. Mais il ny a pas détats qui soient simplement conc confié dans une cellule. (Les $ u_ {kn} $ sont périodiques.) Dans tous les cas, je ne ‘ voir comment cela répond à la question.La façon dont vous le formulez, vous le faites ressembler à ‘ pour chaque $ k $, il y a un $ \ psi_ {kn} $ unique concentré dans une cellule, et son énergie est ce que nous utilisons pour définir la surface de Fermi. ‘ Cela ne ‘ t semble correct pour diverses raisons.

Réponse

Tout ce que vous dites est correct. La surface de Fermi est définie comme lensemble des points $ k $ tels que $ E_n (k) = \ mu $ pour toute bande $ n $. Cependant, en général, les bandes sont relativement espacées et ne se chevauchent pas en énergie, comme ceci:

enter image description ici

Comme nous pouvons le voir, les bandes 1 et 3 se trouvent complètement au-dessus ou complètement en dessous du potentiel chimique $ \ mu $ et ne sont donc pas pertinentes pour déterminer la surface de Fermi ( en fait, à basse température, ces bandes ne sont quasiment pas pertinentes pour aucun phénomène physique – seules les bandes proches du potentiel chimique sont physiquement importantes). Cest pourquoi, en pratique, vous pouvez vous en tirer simplement en considérant une ou deux bandes et ignorant complètement toutes les autres – et quand il y a « une surface de Fermi (cest-à-dire que le potentiel chimique croise une ou plusieurs bandes), une bande suffit presque toujours.

En plus compliqué / inhabituel Cependant, vous devez garder une trace de plusieurs bandes. Par exemple, les bandes peuvent parfois se toucher ou se croiser, et des choses amusantes peuvent arriver si vous ajustez le potentiel chimique exactement au cr point dossement. Encore plus inhabituel, deux bandes peuvent partager toute une gamme dénergie finie – par ex. deux courbes cosinus décalées verticalement dune infime quantité. Mais ces cas sont très rares – pour la plupart des matériaux courants, $ \ mu $ se trouve dans au plus une bande et vous navez pas à vous en soucier. (En fait, les physiciens professionnels aiment trouver / créer des matériaux inhabituels où le potentiel chimique se trouve juste à un croisement de bande, précisément parce que ces systèmes ne sont pas aussi bien compris en théorie, donc il y a plus à apprendre.

BTW, en 1-D, comme le graphique ci-dessus, la « surface » de Fermi consiste simplement en des valeurs isolées de $ k $, mais en 2D, cest généralement une courbe fermée dans le plan $ k_x $ – $ k_y $ , et en 3-D, cest généralement une surface fermée, comme une sphère. Parfois, la surface de Fermi peut en fait se composer de deux (ou plus) sphères, lune à lintérieur de lautre, et le rempli » La mer de Fermi « pour la bande pertinente se trouve entre eux. Ce phénomène est appelé » nidification de surface de Fermi « . Mais si vous » apprenez simplement à connaître les surfaces de Fermi, alors vous naurez pas à vous en préoccuper. situations compliquées depuis longtemps.

Commentaires

  • Merci pour la réponse claire. Soit dit en passant, je ‘ constate maintenant que le mot ‘ band ‘ est utilisé de deux manières distinctes en physique du solide. Le mot que vous utilisez ici fait simplement référence à un niveau dénergie. Mais il y a aussi la notion de bande comme une distribution essentiellement continue des niveaux dénergie, entre lesquels se trouvent des ‘ lacunes. ‘ Je pense que a été une partie importante de ma confusion. Corrigez-moi si je ‘ me trompe à ce sujet.
  • @MinhyongKim A  » band  » est défini comme une seule courbe $ E_n (k) $ pour une valeur donnée de $ n $. (Je pense quil est ‘ quelque peu trompeur dappeler cela un  » niveau dénergie  » car la fonction nest généralement pas constante, elle prend donc des valeurs sur tout un intervalle fini dénergies.) Les gens abusent parfois de la terminologie et utilisent également le mot  » band  » pour faire référence à lintervalle dénergie sur lequel la fonction varie – cest-à-dire en réduisant la dépendance de moment. Vous ‘ avez raison de dire que cest à cela que les gens pensent quand ils parlent de  » bandes interdites.  » Mais les deux sens de la  » bande  » sont vraiment presque identiques …
  • .. . la seule différence est de savoir si vous gardez une trace de la dépendance sur $ k $ ou si vous considérez simplement la plage de la fonction ‘.
  • Merci pour les explications supplémentaires. Mais il me semble quelque peu important de distinguer les deux sens. Si le mot ‘ band ‘ était utilisé dans le sens de la structure de bande électronique, alors léquation $ E_n (k) = \ mu $ ne serait pas ‘ bien défini même pour une valeur fixe de $ n $. Cétait lune des choses les plus déroutantes pour un novice comme moi. En tout cas, merci encore!

Réponse

La surface de Fermi est la surface dans lespace réciproque (le dual de lespace réel dans lequel vous vivez) délimitant les états fermioniques occupés des états fermioniques inoccupés à température nulle.Cest donc une construction dynamique ($ k $) plutôt quune construction énergétique.

La logique est la suivante: essayez de rassembler un nombre donné de fermions. Puisquils suivent le principe dexclusion de Pauli, vous ne pouvez pas emballer ces fermions comme vous le souhaitez. Chaque fois quil y a de la place pour un état dans lespace dynamique, un seul fermion peut occuper cette pièce vide. Vous devez donc commencer à empiler les fermions. Il a une analogie complète avec le remplissage dune bibliothèque avec des livres: vous devez utiliser la rangée suivante lorsque la précédente est pleine. Vous pouvez utiliser des intervalles plus petits entre les raws, agrandir la taille de chaque raw, …, si vous avez trop de livres, vous pouvez utiliser le raw suivant, qui nest rien dautre que la prochaine branche délan dans votre relation de dispersion (ce que vous appelez $ k_n (E) $). Lorsque vous mettez le dernier fermion dans votre bibliothèque fermionique , létat de moment correspondant est appelé moment de Fermi, lénergie correspondante est appelée énergie de Fermi, …, et la surface de iso- $ k $ à limpulsion de Fermi est appelée la surface de Fermi.

Peu de remarques maintenant

  • Il ny aura jamais un nombre infini de branches utilisées pour remplir un fini nombre de fermions dans les relations de dispersion (la structure de bande du matériau si vous préférez).

  • Il ny a pas de contradiction à supposer que la surface de Fermi a plusieurs feuilles. Même sur Wikipedia , vous avez déjà un exemple de surface de Fermi avec des poches délectrons et de trous

  • Le concept de surface de Fermi vient de la notion de statistique (de Fermi-Dirac), quand on a un nombre fini de particules à traiter (dans une terminologie ancienne, cest un deuxième problème quantifié), alors que la structure de bande est le spectre complet des états disponibles pour un particule (dans la terminologie ancienne, il sagit dun premier problème quantifié) dans un potentiel périodique. Le moyen le plus simple de passer de lun à lautre est lutilisation du potentiel chimique, qui fixe le nombre de particules par état énergétique (plus précisément, la quantité dénergie nécessaire pour ajouter une particule au système thermodynamique).

  • La surface de Fermi est un concept particulièrement utile pour comprendre quelques propriétés de transport (électrique, thermique, … transports) de matériaux à structure de bande simple, comme les métaux purs et les semi-conducteurs dopés. Lorsque la surface de Fermi devient trop compliquée, il devient difficile den tirer une intuition. Je pense que cest au cœur du malentendu du concept dans votre question.

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