Quest-ce quun AMDF?

Je « nai jamais vu le mot  » Formula «  avec » AMDF « . Ma compréhension de la définition dAMDF est

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Big | $$

$ n_0 $ est le quartier dintérêt dans $ x [n] $ . Notez que vous ne résumez que les termes non négatifs. Donc $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . Nous appelons «  $ k $  » le « lag » . Clairement si $ k = 0 $ , puis $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Aussi, si $ x [n] $ est périodique avec le point $ P $ (et supposons pour le moment que $ P $ est un entier) puis $ Q_x [P, n_0] = 0 $ et $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ pour tout entier $ m $ .

Maintenant même si $ x [n] $ nest pas précisément périodique, ou si la période nest pas précisément un nombre entier déchantillons (au taux déchantillonnage particulier que vous utilisez), nous sattendrait à $ Q_x [k, n_0] \ approx 0 $ pour tout décalage $ k $ qui est proche à la période ou à tout multiple entier de la période. En fait, si $ x [n] $ est presque périodique, mais que la période nest pas à un nombre entier déchantillons, nous espérons pouvoir interpoler $ Q_x [k, n_0] $ entre les valeurs entières de $ k $ pour obtenir un minimum encore plus bas.

Mon préféré nest pas lAMDF mais le « ASDF » (devinez ce que signifie le « S »?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ big (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ big) ^ 2 $ $

Il savère que vous pouvez faire du calcul avec cela parce que la fonction carrée a des dérivées continues, mais pas la fonction de valeur absolue.

Voici une autre raison pour laquelle jaime ASDF mieux que AMDF. Si $ N $ est très grand et que nous jouons un peu vite et librement avec les limites de la sommation:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ big (x [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ left (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ right) \\ \ end {align} $$

où

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

est normalement identifié comme « lautocorrélation » de $ x [n] $ .

Nous nous attendons donc à ce que la fonction dautocorrélation soit une réplique inversée (et décalée) de lASDF. Partout où les pics dautocorrélation sont ceux où lASDF (et généralement aussi lAMDF) a un minimum.