Avertissement: La première partie de cette réponse prend une position très technique sur la procédure BRST, et fonctionne en plus avec un espace de phase de dimension finie pour plus de commodité. Cela peut paraître assez éloigné de la compréhension des fantômes dans lapplication moyenne des transformations BRST ou des fantômes en tant quoutil.

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La conception générale des fantômes

Il existe de nombreux niveaux auxquels on peut discuter de lapparition des fantômes, des anti-fantômes, et de leur nombre dans la mécanique hamiltonienne contrainte (qui est la même que les théories de jauge au niveau lagrangien). Lun deux est en partie esquissé dans ma réponse , où lopérateur BRST est présenté comme le différentiel dans la cohomologie de lalgèbre de Lie de jauge.

Nous examinerons une manière légèrement différente de regarder les fantômes, à savoir en  » étendant lespace des phases « , dans cette réponse, bien que cela peut être vu comme une reformulation de lapproche de cohomologie de lalgèbre de Lie dans  » termes despace de phase « :

Le Le formalisme BRST, au niveau abstrait, cherche à implémenter la réduction à une surface de contrainte $ \ Sigma $ dans un espace de phase $ X $ non pas en résolvant les contraintes $ G_a $ , mais en recherchant un agrandissement approprié de l’espace des phases de telle sorte que les fonctions sur l’espace des phases agrandi aient un dérivation graduée $ \ delta $ vivant sur ceux dont ho La mologie calcule les fonctions sur la surface de contrainte, qui sont les observables invariantes de jauge. ¹

Lespace de phase agrandi est obtenu comme suit:

1. Une fonction sur la surface de contrainte $ \ Sigma $ est donnée par le quotient de toutes les fonctions despace de phase modulo les fonctions disparaissant sur la surface. Chaque fonction $ f $ disparaissant à la surface est donnée par $$ f = f ^ a G_a $$ où les $ f ^ a $ sont des fonctions despace de phase arbitraires. Si lon introduit autant de variables $ P_a $ que de contraintes, et définit $ \ delta P_a = G_a $ ainsi que $ \ delta z = 0 $ pour toute variable despace de phase dorigine, puis limage de $ \ delta $ correspond exactement à toutes les fonctions qui disparaissent sur $ \ Sigma $ . Pour que $ \ delta $ soit noté, $ P_a $ doit être considéré comme étant de degré $ 1 $ . Le degré dune fonction aussi simplement le degré de celle-ci quun polynôme dans le $ P_a $ est appelé anti- numéro fantôme . ²

2. Le $ P_a $ sont solitaires et ont besoin de variables conjuguées. Celles-ci sont données par des formes 1 longitudinales sur la surface de contrainte, où un champ vectoriel longitudinal sur la surface de contrainte est tangent aux orbites de jauge. Leurs duales sont des formes 1 qui ne sont définies que sur des vecteurs longitudinaux. Il devrait être géométriquement intuitif (et cest en fait vrai) que les champs de vecteurs longitudinaux sont précisément les champs générant les transformations de jauge (ils ne sont encore quune autre incarnation de lalgèbre de Lie de jauge). Par conséquent, il y a autant de 1-formes longitudinales basiques $ \ eta ^ a $ que de contraintes, et quil y a danti-fantômes $ P_a $ .Puisquil y a laction naturelle $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ par définition du dual, il est aussi naturel de définir simplement le crochet de Poisson sur un espace de phase agrandi avec des coordonnées $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ par $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ donc les paires $ (\ eta ^ a, P_a) $ agissent comme des paires supplémentaires de variables canoniques. La dérivation est étendue au $ \ eta $ simplement par $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Les fonctions de cet espace de phase agrandi reçoivent désormais un numéro fantôme pur en fonction de leur degré dans le $ \ eta $ .

Étant donné toute fonction sur lespace des phases agrandi, le fantôme number est simplement le numéro fantôme pur moins le numéro anti-fantôme.

La bonne chose à propos du numéro fantôme est quil est la charge dun certain générateur – il est mesuré par lopérateur ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ qui remplit $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ pour toute fonction de fantôme défini numéro. Le numéro fantôme est physiquement important car être un état de numéro fantôme zéro est, avec la condition dêtre invariant BRST, la condition nécessaire et suffisante pour être un état physique.

Lobtention de cette condition, cependant, nécessite obtenant maintenant le différentiel BRST en ajoutant un autre différentiel $ \ mathrm {d} $ à $ \ delta $ , et montrant que le $ \ delta + \ mathrm {d} $ donne, quand  » de petites perturbations , lopérateur nilpotent requis pour le formalisme BRST. (La dérivation de ceci est très technique, et parfois connue sous le nom de  » théorème de la théorie de la perturbation homologique « ) En examinant à nouveau les actions de $ \ mathrm {d}, \ delta $ , on constate que les fonctions invariantes de jauge sont précisément celles invariantes sous lopérateur BRST avec un nombre fantôme nul, donc la théorie quantique devrait également imposer cette restriction.

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^{1  » dont lhomologie calcule  » est-ce que les mathématiques parlent pour être un opérateur $ \ delta $ , où les fonctions invariantes de jauge sont précisément les fonctions avec $ \ delta (f) = 0 $ et où nous identifions $ f $ et $ g $ sil existe un $ h $ tel que $ \ delta (h) = f – g $ . De plus, cela devient un peu plus compliqué dans le cas de contraintes réductibles.}

^{2 Dans le cas de contraintes irréductibles, cela calcule déjà correctement la jauge -des fonctions variables, et on pourrait en principe sarrêter ici. Cependant, il nest pas satisfaisant davoir ajouté le $ P_a $ , mais de ne pas avoir de variables conjuguées convenablement pour eux dans le formalisme hamiltonien.}

^{3 Cette définition est lanalogon discret et non conforme de lexpression pour $ U $ qui est écrite dans la question.}

^{Référence principale:  » Quantification des systèmes de jauge  » par Henneaux / Teitelboim}

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Le cas spécifique de $ bc $ -CFT

Un  » $ bc $ -CFT « , cest-à-dire un 2D la théorie des champs conforme avec des champs de type fantôme est donnée par laction fantôme $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ lorsque les champs $ b $ et $ c $ ont des poids conformes $ h_b $ et $ h_c = 1 – h_b $ , respectivement. Les fonctions despace de phase avec le numéro fantôme zéro se traduisent maintenant en opérateurs avec un poids conforme $ 1 $ (puisquils contiennent un nombre égal de fantômes et danti-fantômes, et que le poids se comporte de manière additive ).

Cela montre que les états physiques primaires (par la correspondance état-champ des CFT 2D) dans une telle théorie doivent nécessairement avoir un poids conforme $ 1 $ .Ceci est important dans la théorie des cordes, où un $ bc $ -CFT avec $ h_b = 2 $ est naturellement ajouté au $ X $ -CFT des champs de la feuille du monde. Pour un CFT générique, toutes les primaires possibles pourraient, en principe, être des états physiques, mais la procédure BRST force les états du nombre fantôme zéro, cest-à-dire des champs avec un poids $ 1 $ , comme seulement les états physiques autorisés.

Commentaires

• Ceci est une réponse très détaillée mais pourriez-vous également fournir un exemple de lutilisation des nombres fantômes dans CFT spécifiquement ?
• @JakeLebovic: Jai ajouté une brève explication de la façon dont lexigence de zéro numéro fantôme est reflétée dans le cas de la théorie des cordes (qui est le seul cas connu de moi où des fantômes apparaissent dans un CFT).

Dans la théorie des champs conformes sur le plan, vous devez définir un produit interne dans lespace de états de votre théorie. En théorie bosonique des cordes, lespace des états cest-à-dire lespace de Hilbert de la théorie $ \ mathcal {H} $ est lespace de la représentation de lalgèbre de Virassoro:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

Dans la quantification radiale de CFT sur le plan complexe, à chaque état de lespace de Hilbert de la théorie, on peut associer un opérateur local sur le plan complexe, le soi-disant correspondance opérateur-état . Le produit interne BPZ sur cet espace Hilbert peut être défini. La première chose à faire est de définir les états asymptotiques $ | 0 \ rangle $ et $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Opérateur didentité} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {à lorigine} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Opérateur didentité} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {à linfini} \, \, z = \ infty $$

Ces deux peuvent être liés par une transformation conforme $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. On peut montrer que sous cette transformation conforme les modes $ \ hat {\ alpha} _n $ dun champ $ \ Phi $ de dimension conforme $ h _ {\ Phi} $ se transforment en:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Donc, sous la transformation conforme, nous avons le suivant:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Ceci, pour lalgèbre de Virasoro, implique que $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ et $ L_1 $ et leurs homologues anti-holomorphes $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ et $ \ overline {L} _1 $ annihilent à la fois $ | 0 \ rangle $ et $ \ langle0 | $. Mais ces modes génèrent le groupe $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, le groupe de transformation conforme globale sur la sphère de Riemann. Ainsi $ | 0 \ rangle $ est connu comme $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – vide invariant.

Dun autre côté, en utilisant $ (1) $, on peut montrer que $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ et $ b_1 $ annihilent aussi à la fois $ | 0 \ rangle $ et $ \ langle0 | $. La relation de commutation canonique du système $ bc $ montre que:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

donc les modes $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ et $ c_1 $ nannihilent aucun des $ \ rvert0 \ rangle $ et $ \ langle0 \ rvert $. Le premier élément de matrice non nul pour le système $ bc $ sur la sphère de Riemann est donc:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

La conjugaison BPZ ie la relation (1) viole le nombre fantôme de 3 unités. Laction du système $ bc $ a la symétrie de nombre fantôme suivante:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Le courant correspondant est:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

Dans laquelle $: \ cdots: $ désigne un ordre normal.

Lorigine de la violation du nombre fantôme décrite ci-dessus est géométrique. $ j $ est le nombre de fermions courant des fermions chiraux qui ont un spin entier non convergent (les $ b $ et $ c $ ont tous deux un spin entier.) Donc, il a une anomalie gravitationnelle:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

Dans laquelle $ \ lambda $ est la dimension conforme de $ b $. En intégrant ceci, on peut voir que la violation du nombre fantôme sur une surface de genre $ g $ Riemann (feuille du monde de la théorie des cordes fermées) est $ 3 (g-1) $. Limportance du courant fantôme est quil détermine les éléments de matrice S non nuls du CFT.