Un résultat bien connu des statistiques la mécanique est la loi des gaz parfaits,

\ begin {equation} PV = nRT \ end {equation}

qui se présente sous diverses formes. Ici, $ n $ désigne la quantité de gaz, $ R $ est une constante, $ T $ est la température, $ V $ le volume et $ P $ la pression.

Si vous augmentez la température, le volume, la pression ou les deux doivent augmenter proportionnellement. Si le ballon ne peut pas se dilater, le volume ne peut pas augmenter; ainsi, la pression augmentera (avec $ \ frac {nR} {V} $ par degré). Sil y a un certain degré délasticité, le volume peut augmenter quelque peu; cependant, ne pas suivre la loi des gaz parfaits. En tant quastronome, je nai pas beaucoup travaillé avec les élasticités, donc un physicien appliqué peut probablement vous aider davantage.

Un le gaz idéal est un gaz théorique composé de nombreuses particules ponctuelles en mouvement aléatoire qui ninteragissent que lorsquelles entrent en collision élastiquement. Tout dépend de votre cas. Je veux dire que si la pression et la température sont basses, vous pouvez utiliser la loi des gaz parfaits pour calculer la relation entre la pression et la température.

où:

est la pression du gaz

est le volume du gaz

est la quantité de substance de gaz (également appelée nombre de moles)

est le gaz idéal ou universel constante, égale au produit de la constante de Boltzmann et de la constante dAvogadro.

est la température du gaz

Et nous savoir:

où:

est la masse (grammes)

est la masse molaire (grammes par mole)

donc,

Vous devriez vérifier le cas auquel vous êtes confronté, puis décider de lutiliser ou de ne pas lutiliser. mais quelque chose de vraiment important est que la loi des gaz parfaits ne répond pas aux cas élastiques.

Assurez-vous dutiliser T dans Kelvins, et ayez les autres unités compatibles les unes avec les autres.

Vous devriez également rechercher «altitude pression» et «altitude température», et «taux de déchéance» pour voir si cela sapplique à votre problème.

À mesure que vous augmentez laltitude, la pression atmosphérique et la température de confinement diminuent, de sorte que la taille du ballon augmente par rapport aux altitudes plus basses.

Dérivation rapide

La loi de Young-Laplace stipule que $$ p-p_0 = \ frac {2 \ gamma} {R} $$ alors que léquation détat du gaz idéal va as $$ p = \ frac {Nk_BT} {V} $$ Résoudre pour $ R $ et en supposant que nous avons affaire à un ballon sphérique ($ V = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $, $ A = 4 \ pi R ^ 2 $), et que lélasticité est décrite par une force Hookean (avec équilibre à taille nulle), $ \ gamma = \ alpha A $, $$ \ left (\ frac {Nk_BT} {\ frac {4} {3 } \ pi p} \ right) ^ {1/3} = R = \ frac {p-p_0} {8 \ pi \ alpha} $$

Pour simplifier lalgèbre, je suppose que $ p_0 = 0 $, de sorte que nous avons $ p \ propto T ^ {1/4} $.

Dérivation légèrement plus rigoureuse

Pour simplifier, je vais supposer que le la pression à lextérieur est nulle. Lajout dune pression non nulle est cependant trivial, mais rend les équations un peu plus laides.

Supposons que nous ayons une sphère remplie de molécules $ N $ de gaz idéal, de sorte que la fonction de partition puisse sécrire $$ \ mathcal {Z} = \ iint \ mathrm {d} ^ {3N} p \ \ mathrm {d} ^ {3N} r \ \ e ^ {- \ beta (\ mathcal {H} + \ gamma A)} $$

Nous nous retrouvons donc avec $$ \ mathcal {Z} = CV ^ N e ^ {- \ beta \ gamma A} $$

Maintenant, minimisant lénergie libre par rapport à $ R $, $$ N \ frac {A} {V } = \ beta \ partial_R (\ gamma A) $$

En prenant le caoutchouc pour être Hookean, $ \ gamma = \ alpha A $, nous avons enfin la taille du ballon: $$ R = \ left (\ frac {3N} {64 \ pi ^ 2 \ alpha \ beta} \ right) ^ {1/4} $$

Il est maintenant facile de calculer la pression, $$ p = – \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {F}} {\ partial V} \ right) _A = \ frac {N \ frac {A} {V}} {\ beta A} = \ frac {N} {\ beta V} $$ Pas de surprise ici; ce nest que léquation détat du gaz parfait. En branchant la taille ($ V \ leftarrow \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 $), nous avons $ p \ propto \ beta ^ {- 1/4} \ propto T ^ {1/4} $ .

Jai également écrit une simple simulation de Monte Carlo (qui pourrait facilement être étendue pour couvrir des cas plus généraux où le gaz nest pas idéal, par exemple), et mes résultats numériques concordent avec ce que jai dérivé ci-dessus.

La température et la pression sont directement proportionnelles lune à lautre. Cela signifie que lorsque la température diminue, la pression diminue également et que la température augmente, la pression augmente. Une façon de penser à cela est que si vous augmentez la vitesse des molécules – en augmentant leur température – la force des molécules frappant leur contenant augmente et cela augmente la pression. Cette relation sappelle la loi de Gay-Lussac et fait partie de la loi des gaz parfaits.