Signification de Fock Space

Supposons que vous ayez un système décrit par un espace de Hilbert $ H $ , par exemple une seule particule. Lespace de Hilbert de deux particules non interagissantes du même type que celui décrit par $ H $ est simplement le produit tensoriel

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Plus généralement, pour un système de $ N $ comme ci-dessus, lespace de Hilbert est

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

avec $ H ^ 0 $ défini comme $ \ mathbb C $ (ie le champ sous-jacent $ H $ ).

Dans QFT, il y a des opérateurs qui entrelacent les différents $ H ^ N $ , cest-à-dire créer et anéantir des particules. Des exemples typiques sont les opérateurs de création et dannihilation $ a ^ * $ et $ a $ . Au lieu de les définir en fonction de leur action sur chaque paire de $ H ^ N $ et $ H ^ M $ , on est autorisé à donner une définition " complète " sur le plus grand espace de Hilbert défini en prenant la somme directe de tous les multi -espaces particules, cest-à-dire.

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

connu sous le nom despace de Fock Hilbert de $ H $ et parfois aussi désigné par $ e ^ H $ .

Dun point de vue physique, la définition générale ci-dessus de lespace Fock est sans importance. Des particules identiques sont connues pour observer une (para) statistique définie qui réduira lespace de Hilbert réel (par symétrisation / antisymétrie pour le cas bosonique / fermionique etc …).

Commentaires

• Superbe réponse! Jaimerais quils écrivent les manuels QFT comme celui-ci.

Excellentes réponses, mais juste pour être complet, peut-être sera illustratif pour avoir un exemple.

Supposons que votre $ H ^ 1 $ contienne des états à une seule particule $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, etc. Lespace Fock supprime la limitation sur étant une seule particule, et est composé de $ H ^ 0 $ (qui est unidimensionnel), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, etc. autorise des états comme

• létat de vide, appelons-le le ket vide $ | \ rangle $,
• tous les états de particules uniques, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• tous les états à deux particules, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB que cette construction les juge distinguables),

mais surtout

• toute superposition de ce qui précède , comme $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ droite) $.

Cet espace est intrinsèquement de dimension infinie même si vous commencez par quelque chose de petit comme un qubit. Si vous souhaitez imaginer le résultat à laide dune base, concaténez simplement les listes des états de base de tous les composants:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

Dans le le paramètre le plus trivial la particule unique na pas vraiment détats distincts, donc $ H ^ 1 $ est unidimensionnel. Il est toujours logique de choisir un état fiducial $ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $ et de construire lespace de Fock avec une base

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

un exemple détat pourrait être, par exemple, un état cohérent

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

et vous avez un bel exemple de la raison pour laquelle les gens peuvent parler dexcitations comme de « phonons » dans un oscillateur harmonique alors quil ny a quune seule particule oscillant!

Oui, cest le cas. Vous construisez un « grand » espace Hilbert à partir des « petits », si vous le souhaitez.