Quelquun sait-il ce que serait $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, où $ t ^ a $ etc sont des matrices de Gell-Mann? Cela sest produit lors de lanalyse du facteur de couleur pour leffet compton pour la QCD. Donc, ça doit être assez courant, mais je nai pas pu trouver une référence appropriée. En général, y a-t-il une référence pour la trace dun nombre arbitraire de matrices de Gell Mann?
Answer
Je prends le SU (N) générateurs dans la représentation fondamentale normalisés tels que $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Le commutateur de deux générateurs définit les constantes de structure $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Lanticommutateur de deux générateurs est
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
où par $ 1 $ je veux dire la matrice didentité et $ d ^ {abc} $ sont le « d-symbol » défini comme
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Ensuite, il y a une identité utile
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Je vous suggère cette référence http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf où différentes identités de trace sont collectées. Pour votre cas, regardez léquation 75 de lannexe B, page 9.
Vérifiez la normalisation des générateurs avant dutiliser cette identité.
Commentaires
- En règle générale, seules les réponses aux liens sont activement découragées, car si le lien séteint, la réponse est inutile. Veuillez utiliser Mathjax pour modifier les équations appropriées afin que la réponse soit autonome.
- @Angela si cela répond à votre question, vous devez la marquer comme réponse.