Trouvez h [n] en utilisant les propriétés DTFT

Pendant cest par vos devoirs dadmission (et assez basiques), je vais mordre. Rappelez-vous la définition du DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Et rappelez-vous la définition de la réponse en fréquence $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

où $ x [n ] $ est lentrée du système et $ y [n] $ sa sortie. Combinez ces deux équations:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Maintenant, exécutez le DTFT inverse des deux côtés de léquation. Par définition, $ X (\ omega) $ et $ x [n] $ sont une paire de transformées; de même pour $ Y (\ omega) $ et $ y [n] $. Pour les deux autres termes, rappelez la propriété de décalage temporel du DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

qui peut être montré facilement à partir de la définition du DFT. En utilisant cette propriété, léquation inverse se transforme en la spécification équation de différence pour le système:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Cest la définition dun filtre récursif, qui sont généralement IIR; cest le cas de celui-ci. Trouver la réponse impulsionnelle est facile; laissez $ x [n] = \ delta [n] $ et trouvez que la sortie système est:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Ce qui précède est tracé pour $ a = 0.99 $. Il est à noter que le système nest stable que pour $ | a | \ le1 $.

Commentaires

• I ' jai essayé de calculer la réponse impulsionnelle mais je me suis emmêlé. Pourriez-vous montrer comment cela se fait '? merci.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Puisque la réponse impulsionnelle sétend à $ \ infty $, cest un filtre IIR. JasonR déclare dans sa réponse que le filtre nest stable que si $ | a | < 1 $. En fait, le filtre est stable lorsque $ | a | \ leq 1 $, et nest instable que pour $ | a | > 1 $. Cependant, lorsque $ | a | = 1 $, à partir de la formule de la série géométrique $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, on obtient que $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ est la fonction de transfert dun filtre (stable) FIR qui peut être décrit comme un intégrateur à court terme ou moyenne à court terme (avec gain de 4 $).

Commentaires

• Belle dérivation alternative. Jai également corrigé ma demande de stabilité dans ma réponse.