Unités en constante gravitationnelle

Eh bien, la façon dont pour trouver les unités de la constante, il faut considérer léquation à laquelle elle participe:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ est une force: elle est donc mesurée en newtons ($ \ operatorname {N} $). Un newton est la force nécessaire pour donner à un kilogramme une accélération dun mètre par seconde par seconde: ainsi, en unités SI, ses unités sont $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ et $ m_2 $ sont des masses: en unités SI elles sont mesurées en kilogrammes, $ \ operatorname {kg} $, et $ r $ est une longueur: elle est mesurée en mètres, $ \ operatorname {m} $.

Donc, encore une fois en unités SI, nous pouvons réécrire ce qui précède comme quelque chose comme

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

où $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ et $ \ rho $ sont des nombres purs (ce sont les valeurs numériques des différentes quantités en unités SI). Nous devons donc obtenir les dimensions de ceci pour avoir un sens, et juste en faisant cela, il est immédiatement évident que

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

où $ \ gamma $ est un nombre pur, et est la valeur numérique de $ G $ en unités SI.

Alternativement, si nous remettons les newtons sur le LHS nous obtenons

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

Pour répondre à cela, nous devons jeter un œil à léquation $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Donc, si G est mesuré en $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, et que la masse est mesurée en kg et la distance est mesurée en m, alors la force est mesurée avec $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, ce qui se simplifie en $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

Et maintenant, pour définir $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $, votre instinct pourrait être de le diviser en $ \ rm m / s ^ 2 $ et kg. Si $ \ rm m / s ^ 2 $ est une unité daccélération et kg est une unité de masse, alors la force doit être la masse multipliée par laccélération. Ceci est décrit par Sir Issac Newton PRS « La deuxième loi du mouvement décrit:

$ F = ma $

Il est donc logique que la constante gravitationnelle G soit mesurée en $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Commentaires

• Je ne suis pas sûr que  » PRS  » est nécessaire pour décrire Newton

Cest un problème.

Les constantes font allusion à des nombres purs, donc cest drôle quune constante ait des unités de mesure.

Cest un problème approprié. Vous trouvez, ou devinez que quelque chose dépend de quelque chose dautre, proportionnellement comme lorsque x passe de 3 à 4, y passe de 6 à 8, (donc y = 2 * x où 2 est une constante) ou inversement proportionnel (y = x / 2), donc lorsque vous êtes satisfait davoir trouvé tout ce qui peut affecter ce quelque chose, vous avez à peu près votre équation, comme y = a x ^ 2 + bx + c le quadratique simple dans une dimension ou quelque chose comme w = x y.

La dernière étape consiste à ajouter des constantes afin que les nombres, les résultats correspondent.

Cependant, si selon vos principes dunités de mesure les unités ne correspondent pas, vous avez un problème. Vous vous sacrifierez pour cela si votre constante tient même si elle a des unités, mais sachez peut-être quil y a plus dans léquation que cette simplification ou bien sûr que votre idée originale des unités de mesure a un défaut. redéfinissez vos premiers principes, cest-à-dire que la vitesse nest pas en mètre / seconde, alors laissez cela de côté pour linstant.

Léquation gravitationnelle sous cette forme est également très similaire à la loi de Coulombs, trop similaire en fait, les deux sont principalement des guides dire que la force est proportionnelle aux masses des objets et inversement proportionnelle au carré de leur distance (dans le cas de la gravité)

Vous obtenez des carrés nets avec la force gravitationnelle, cest-à-dire (kg / m) 2 donc si tout est au carré, alors vous pourriez vous demander ce quest kg / m.

Par exemple: des carrés apparaissent lorsque vous êtes addi ng trucs par intégration, intègre un autre beau concept mathématique qui cependant, au moins graphiquement, est une approximation.

Donc on dit si y = x ^ 2 alors dy / dx = 2x et lintégration étant linverse de la différenciation , en utilisant la notation « Intégrale de x » comme I (x), alors I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (on ajoute toujours une constante en intégration pour la partie manquante.

Alors peut-être que la force (gravitationnelle) est f = I (quelque chose) pour quelle finisse au carré.

Force est un animal amusant. Vous avez des choses comme des impulsions comme si vous aviez des choses comme lénergie, le travail et la puissance, tous ces concepts de physique, connectés. Par exemple, iirc work = power * time mais cest juste du bon sens, je vais donc marrêter ici.

Ajouté:

Pour commencer à penser au kg / m et à ce que cest, une chose qui mest venue à lesprit, ces deux sont liés quand quelque chose parcourt une distance, comment dépend la distance sur la masse? Eh bien, certainement quand vous avez des frictions, la masse compte. Vous pouvez également penser à la densité, qui est masse / volume.

Donc F ~ volume ^ 2 et peut-être F = volume quelque chose, qui le ramène à kg m / s ^ 2. quelque chose qui dans le local perceptible est stable, constant. Remarquez que si F = I (x) et quil contient m / s ^ 2, il existe une relation intégrale entre la vitesse et laccélération (s = v t + a t / 2) où s est distance, v est la vitesse, a est laccélération et t le temps. Gardez à lesprit que lintégration est également subjective, vous intégrez quelque chose, donc si w = x y et que x et y sont des variables, vous pouvez intégrer w sur x et vous pouvez intégrer w sur y. Ce sont / (peuvent être) additifs à condition quils soient indépendants coz si y = f (x) vous pouvez aller à une seule variable w = x f (x) => w = g (x)

Cette question ayant reçu 46K (!) vues, il peut être utile dajouter une réponse même après 4 ans.

$ G $ est une constante expérimentale requise pour correspondre à lénergie potentielle de Newton à expérimenter. Lénergie potentielle de Newton est $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Division par lénergie $ mc ^ 2 $ vous obtenez le potentiel sans dimension $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Puisque $ V $ est sans dimension, $ GM / c ^ 2 $ est une longueur. Cette longueur est interprétée comme la moitié du rayon dun trou noir de masse M, $ r_M / 2 $ . G a la dimension $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Vous pouvez donc également écrire le potentiel sans dimension comme $$ V = r_M / 2r $$ où la seule constante est une longueur avec une interprétation claire mais exotique.

Linterprétation la plus directe – celle qui transcende le fossé paradigmatique entre la physique relativiste et non-relativiste, et qui est liée à léquation de Raychaudhuri, est cela en termes de contraction de volume.

Un nuage entourant un corps de masse $ M $ , dont les constituants sont tous en mouvement radial, a un volume qui en fonction du temps $ V (t) $ satisfait léquation $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Si initialement stationnaire, alors laccélération initiale du volume, sous le force de gravité, est $ – 4πGM $ , le négatif indiquant quil commence à se contracter.

Ainsi, les unités pour $ GM $ sont des mètres cubes par seconde, par seconde.

La généralisation de ceci à une classe $ n + 1 $ lespace-temps dimensionnel est $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ gauche (\ frac {dV} {dt} \ droite) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ en utilisant la convention $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , où $ G_n $ est le $ n $ – version dimensionnelle du coefficient de Newton; dont les unités seraient mètreⁿ / (seconde² kilogramme).