Le théorème de Feynman-Kac stipule que pour un processus Ito de la forme $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ il existe une fonction mesurable $ g $ telle que $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ avec une condition aux limites appropriée $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. On sait aussi que $ g (t, x) $ est de la forme $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Cela signifie que je peux évaluer une option avec la fonction de gain $ h (x) $ à $ T $ en résolvant léquation différentielle sans tenir compte du processus stochastique.
Existe-t-il une explication intuitive comment il est possible de modéliser le comportement stochastique du processus Ito par une équation différentielle, même si léquation différentielle na pas de composante stochastique?
Commentaires
- Dans lattente, ‘ ne devrait pas mettre $ h (X_T) $ à la place de $ h (X_t) $ ?
Réponse
Martingales + Markovien
Voici la motivation. Les attentes conditionnelles sont des martingales par la propriété de la tour des attentes conditionnelles (un exercice facile à montrer). Supposons que $ r = 0 $, daprès le théorème de tarification neutre au risque $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ est le prix de tout dérivé sécurité avec $ X $ comme actif sous-jacent et fonction de paiement $ h $ en supposant pour le moment que le titre sous-jacent et le dérivé lui-même ne paient pas de flux de trésorerie intermédiaires. Dans un contexte markovien, il doit être possible que le prix du dérivé soit une fonction mesurable du prix actuel de lactif et du temps jusquà léchéance uniquement, disons une fonction $ g (t, x) $. Ensuite, par le lemme de Ito $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Puisque $ g $ est une martingale (décalée), le terme de dérive doit être égal à zéro . la condition aux limites ne vient daucun arbitrage, voyez ceci en remarquant ce que représente $ g (T, x) $ de la définition donnée au début (rappelez-vous la mesurabilité lors de la prise despérance conditionnelle).
Commentaires
- Merci. Quest-ce que $ \ mathscr {F} _t $?
- Cest une algèbre sigma dune Filtration. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – cela complète plutôt bien ma réponse +1
- @Raphael – il suffit de penser à $ \ mathscr F_t $ comme information disponible jusquà lheure $ t $. La barre verticale indique » donné » de sorte que lorsque vous écrivez cette attente, quoi que ce soit avant ce moment, vous ‘ ne preniez pas du tout lattente et cela peut sortir de la même manière quune constante le ferait. Comme $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Il existe une explication relativement bonne de lattente conditionnelle dans ce livre.
Réponse
Le théorème de Feynman-Kac a principalement un sens dans un contexte de tarification. Si vous savez quune fonction résout léquation de Feynman-Kac, vous pouvez la représenter comme une attente par rapport au processus. ( confère ce document )
Dun autre côté, une fonction de tarification résout le FK-PDE. Ainsi, on essaierait souvent de résoudre le PDE pour obtenir une formule de tarification de forme fermée. ( confère ceci document commençant par la page 22 )
Vous nutiliseriez pas le Feynman-Kac pour simuler un processus stochastique. En revanche, vous pouvez utiliser un processus stochastique pour trouver une solution au FK-PDE ( voir ici )
Edit 26.02.2014: Jai trouvé un document qui tente dexpliquer le lien entre la densité de transition et le FK-PD ( voir ici à partir de la page 5 )
Il existe également une connexion entre la formule FK et les équations de Sturm-Liouville qui peuvent être utilisées pour la décomposition des chemins browniens. ( voir ce document )
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- Merci pour les liens! Votre article explique plusieurs applications et utilisations du théorème de Feynman-Kac. Mon intérêt principal à ce stade est de comprendre pourquoi le théorème est vrai, cest-à-dire lintuition derrière le théorème.
- Je suggérerais la preuve ici: fr. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula La lecture de preuves aide souvent à comprendre comment un théorème prend naissance. Ou êtes-vous intéressé par une explication du point de vue de Phyiscs?
Réponse
La façon dont je pense cest que le PDE décrit le flux dune distribution de probabilité dépendant du temps. Le processus stochastique décrit les réalisations individuelles (marches aléatoires avec une dérive), mais si vous en exécutez un grand nombre, vous construisez une distribution.
Le PDE explique comment cette distribution change dans le temps (premier terme) en raison de la dérive déterministe (le deuxième terme) et de la diffusion (le troisième terme, qui est le lien entre « beaucoup de marcheurs aléatoires » et la propagation distribution de probabilité qui décrit jusquoù ils « sont allés, en moyenne). Habituellement, la distribution de probabilité commence comme une fonction delta en raison de la condition initiale connue.
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- Je suis un peu confus. Nous avons le PDE de la fonction de tarification $ g (t, x) $ mis à part la dérive et la volatilité, il ny a pas beaucoup dinformations que vous pouvez glaner du FK-PDE en ce qui concerne la distribution
Réponse
Abordons cette réponse en deux étapes.
Premièrement, Je trouve assez intuitif que pour une PDE stochastique donnée, il existe une PDE déterministe qui fait évoluer la densité vers un temps ultérieur. Cette équation est léquation de Kolmogorov ou Fokker-Plank. Pourquoi est-ce intuitif? On connaît aussi la future distribution dun mouvement brownien (par définition), pourquoi cela devrait-il changer pour un terme stochastique plus complexe?
Deuxièmement, une fois que vous avez obtenu léquation en avant, cest aussi une question de mathématiques en dériver une version inversée dans le temps. Cest léquation de Feynman-Kac, et elle propage une distribution à rebours dans le temps.