Accelerazione gravitazionale sulla Luna e su Marte

Let ” s vedere come si ottiene laccelerazione dovuta alla gravità per qualsiasi pianeta, e quindi possiamo applicarla alla Terra o alla Luna o qualunque cosa vogliamo.

La legge di gravitazione di Newton ci dice che la grandezza del forza gravitazionale tra oggetti di massa $ m_1 $ e $ m_2 $ è data da \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} dove $ r $ è la distanza tra i loro centri di massa. Ora, supponiamo che loggetto 1 sia un pianeta di massa $ m_1 = M $ e raggio $ R $, e loggetto 2 sia un oggetto di massa molto più piccolo $ m_2 = m $ situato ad unaltezza $ h $ sopra la superficie del pianeta che è piccolo rispetto al raggio del pianeta. La grandezza della forza gravitazionale tra i due oggetti sarà \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} daltra parte, la seconda legge di Newton dice noi che laccelerazione delloggetto 2 soddisferà \ begin {align} F = ma \ end {align} Combinando questi fatti, vale a dire impostando i lati di destra uguali, la massa $ m $ viene eliminata dalle equazioni e laccelerazione a causa della gravità delloggetto di massa $ m $ diventa \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} dove nella seconda uguaglianza, ho eseguito unespansione di Taylor della risposta in termini del numero piccolo $ h / R $. Si noti che a zero lordine, cioè il contributo dominante quando loggetto 2 è vicino alla superficie del pianeta, è una costante che è indipendente dallaltezza e dipende solo dalla massa e dal raggio del pianeta; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Questo è esattamente ciò che di solito chiamiamo accelerazione dovuta alla gravità vicino a superficie di un pianeta. Se colleghi i numeri per la Terra, otterrai \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ approx 9.8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} e I ” Lascerò a voi determinare il numero per altri pianeti. Limportante proprietà di questa accelerazione dovuta alla gravità è che scala linearmente con la massa $ M $ del pianeta, e scala come la seconda potenza negativa del raggio del pianeta.

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• Penso che sia utile anche menzionare gli effetti della forza centrifuga, dovuti alla velocità angolare di un corpo celeste. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Un altro effetto di ciò è che il corpo stesso si gonfia intorno allequatore, aumentando il raggio della superficie vicino allequatore (abbassandosi vicino ai poli).

La costante di accelerazione gravitazionale definita come $ g $ per la Terra dipende dalla massa della Terra e dalla distanza da essa. La formula è $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Vedi Newton L aw di Universal Gravitation per maggiori dettagli). Quindi $ g $ non è una costante nemmeno sulla terra ma dipende dalla tua altitudine, anche se piuttosto lentamente. Se sei sulla luna, la massa della luna $ (~ 10 ^ {22} kg) $ è inferiore a quella della terra $ (~ 10 ^ {24} kg) $ e quindi la forza gravitazionale che percepiresti, $ mg $ sarebbe molto inferiore a causa del fatto che $ g $ è più piccolo, circa $ 1,62 m / s ^ 2 $.

Inoltre, le unità di $ g $ sono $ m / s ^ 2 $ e non $ N / s ^ 2 $

Un modo semplice per pensarci è considerare che laccelerazione di gravità, sulla superficie, diciamo, di un corpo planetario, dipende essenzialmente da due quantità: la massa del corpo e il raggio .

Laccelerazione superficiale aumenta con la massa del corpo (se raddoppi la massa, raddoppi laccelerazione) e diminuisce con il quadrato del raggio (se raddoppi il raggio, laccelerazione è quadrata).

Quindi, per esempio, il raggio della Luna è circa 0,273 volte il raggio della Terra ma la massa della Luna è circa 0,0123 la massa della Terra. Quindi, ci aspetteremmo che laccelerazione sulla superficie della Luna sia

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

e, abbastanza sicuro, la gravità della superficie della Luna è di circa $ 1,62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Quindi, se conosci la massa e il raggio di, diciamo, Marte, puoi determinare la gravità della superficie di Marte come segue:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $