Affiancare un esagono con diamanti

Penso di aver trovato una dimostrazione molto semplice.

Ogni tessera con lati verticali deve avere altre due tessere con lati verticali adiacenti o il confine verticale dellesagono. Per una data tessera con lati verticali, seguire queste tessere adiacenti produce un percorso specifico per entrambi i lati verticali dellesagono.

Ciò significa che ogni tessera con lati verticali giace su un percorso che inizia sul lato sinistro di lesagono e termina a destra, ed è costituito solo da piastrelle con lati verticali. Nessuno di questi percorsi può intersecarsi, poiché ciò creerebbe due percorsi diversi da una singola tessera con lati verticali sul lato sinistro dellesagono, che non può esistere secondo il primo paragrafo.

Poiché nessuno dei percorsi intersecarsi, ogni percorso tra i lati sinistro e destro dellesagono deve iniziare e finire alla stessa altezza. Pertanto, ogni percorso deve contenere un numero uguale di ciascuna delle due tessere diversamente orientate con lati verticali. Poiché ogni tessera con i lati verticali si trova su tale percorso, il numero totale di queste due tessere orientate in modo diverso deve essere uguale.

Ripeti questa operazione simmetricamente per altri due orientamenti per scoprire che il numero di tessere di ciascun orientamento deve essere uguale.

Commenti

• Prova molto bella. Penso che potrebbe essere reso ancora più facile dalla semplice osservazione che a + b = b + c = c + a è equivalente a a = b = c. Quindi puoi abbandonare lintera traversata e le cose su e giù. Invece conta solo i tratti verticali. Secondo il tuo argomento, devono essere lo stesso numero in ciascuna ” colonna ” e il confine. Puoi mappare tutti tratti verticali da 1 a 1 tranne il confine sinistro, diciamo, a tutte le tessere che hanno lati verticali (cioè due tipi, come in a + b sopra) associando ciascuna tessera con il suo bordo verticale destro.
• Ah, ‘ hai ragione. Una volta che sai che cè un numero uguale di tratti in ogni orientamento, il risultato segue facilmente.

Voglio pubblicare una risposta più intuitiva di .
Questa immagine la rappresenta perfettamente:

Bianco, grigio e nero vengono utilizzati per evidenziare i diamanti con lo stesso orientamento. Limmagine a destra mostra un solido strano, immagino che tutti possano vederlo.
Bene, è intuitivo vedere che, per qualsiasi configurazione, larea nera è equivalente (anche bianca e grigia): è come estrudendo parti del pavimento (ovvero costruendo scale!), larea su cui puoi camminare non cambia!

Commenti

• La tua forma mantiene capovolge nella mia testa. Un momento il nero è ” su “, quello successivo è ” down “. Ma mi piace questa prova.
• @Floris La mia intenzione è davvero quella di risolvere questo problema come un puzzle (noi ‘ sei in Puzzling, eheh!), e non come un puro compito di matematica.
• Tu ‘ stai assumendo che ogni soluzione ” sembra ” una pila di cubi. Come fai a sapere che è vero? In effetti, supporre che ogni soluzione assomigli a una pila di cubi è carino molto assumendo il cosa che ti ‘ ti viene chiesto di dimostrare.
• @Floris: Ow, mi ci è voluto un po per vederlo capovolto, e una volta fatto devo lottare per ” tenere ” quellinterpretazione e mi fa male la testa. Suppongo di aver giocato troppo a Q * bert in gioventù.
• @ leoll2 ‘ è il tuo lavoro convincerci che ‘ non può essere nientaltro. Come posso essere sicuro che non ci sia ‘ t qualche strana piastrellatura che ‘ non assomiglia a una pila di cubi?

Ecco “una dimostrazione ispirata al 3D.

Prendi un esagono piastrellato e guarda il suo linee verticali.

Innanzitutto, osserva che a causa della forma delle piastrelle, tutte le linee verticali devono avere la stessa lunghezza del lato sinistro e destro dellesagono, possibilmente con spazi intermedi.

Quindi, se nessuno di essi presenta spazi vuoti e tutti finiscono in fondo, lintera piastrellatura deve essere simile a questa (“cubo completamente pieno”):

Mostriamo che è possibile trasformare qualsiasi altra piastrellatura in un” cubo completamente pieno “senza cambiare il numero di tessere in ogni orientamento.

Per prima cosa, seleziona un frammento di una linea verticale che non termini in basso. Deve invece terminare su una tessera orizzontale, poiché le altre due tessere hanno entrambe i lati verticali. Si spera che la situazione sia questa (“corner”):

Ma forse ci sono una o due righe aggiuntive che hanno origine nello stesso punto, in questo modo:

Se è così, segui uno di questi. Deve appartenere ad unaltra tessera orizzontale adiacente a quella attuale. (Puoi vederlo dallimmagine.) Quindi, dopo aver seguito la linea, ti trovi di nuovo nella stessa situazione, ma più vicino a uno dei lati dellesagono (che garantisce la terminazione, poiché cè sicuramente una linea verticale nella direzione in cui appena arrivato da). Continua nella stessa direzione fino a raggiungere un “angolo”.

Ora che hai raggiunto un “angolo”, “riempilo”:

Ovviamente, il numero di tessere in ogni orientamento è rimasto lo stesso. Tuttavia, un frammento di linea verticale si è appena spostato verso il basso.

Ripeti questo algoritmo fino a quando tutte le linee verticali terminano in basso e tutti gli spazi vengono rimossi, ottenendo il “cubo completamente pieno” (vedi sopra).

Commenti

• Fantastico! Dimostra inoltre che qualsiasi piastrellatura può essere trasformata in qualsiasi altra da una sequenza di ” otturazioni degli angoli ” o piccole rotazioni esagonali
• Sì, e in un certo senso dimostra che linterpretazione 3D funziona sempre. Ma penso che potrebbe essere dimostrato molto più direttamente, poiché in ” prendi qualsiasi piastrellatura e costruisci una struttura 3D corrispondente come segue … ”
• buono 🙂 fondamentalmente rotazione 3d. Ho fatto il 2d. Hai mai incontrato quel puzzle?

È interessante notare che, guardando limmagine come un grafico 3D, puoi vedere che ogni “faccia” ha lo stesso numero di tessere. Quindi, se lo guardassi da sinistra, “vedresti 25 quadrati. In alto, 25 quadrati. A destra, 25 quadrati. E ciascuno dei 3 orientamenti corrisponde a una delle facce.

Commenti

• Sento che questo argomento è convincente, ma solo per la particolare piastrellatura che stai osservando. Come puoi essere sicuro che lillusione ottica accadrà per ogni possibile piastrellatura?
• Questa risposta sembra essere un modo per visualizzare la risposta … non prova nulla. Tuttavia, è possibile dimostrarlo in questo modo.
• Sono totalmente daccordo. I ” conoscere ” la risposta, ma questo venerdì non posso spiegarmela.

Ancora un altro; questo è basato su triangolo e potrebbe essere più di una dimostrazione standard.

Dividi lintero esagono in triangoli e assegna numeri a le linee verticali come questa (o in modo simile):

Ora, per qualsiasi forma basata su triangolo (che ch non deve essere necessariamente una piastrellatura) definisci il suo “grado” come il numero ottenuto sommando tutti i numeri assegnati al suo confine sinistro e sottraendo tutti i numeri assegnati al suo confine destro. Ad esempio, la forma

ha un “grado” di $ (1-2) – (2 + 2-1-2) = – 2 $.

Ora, costruisci una piastrellatura pezzo per pezzo e considera il “grado” della forma risultante. Laggiunta di una tessera orizzontale non cambia il grado, laggiunta di una delle altre lo aumenta o la diminuisce di 1, rispettivamente:

Poiché lintero esagono ha un grado 0, il numero delle due tessere mostrate deve essere uguale. Ripeti simmetricamente in unaltra direzione.

Commenti

• Puoi dividere lesagono in un numero qualsiasi di forme, quindi la somma dei gradi di quelle forme è 0.Tecnicamente questo non risponde perché devi ancora dimostrare che puoi costruire la piastrellatura (ad esempio estrudendo, hai appena dimostrato che se una piastrellatura esiste allora deve avere grado 0) Ma questa risposta fornisce sicuramente un pezzo mancante alla dimostrazione quindi +1
• Per come intendo la domanda, non è necessario dimostrare che esiste sempre una piastrellatura. Ma lo fa, ovviamente. 🙂 (Vedi la mia prima risposta.)
• e per vedere che puoi costruire tutti i tasselli possibili ho bisogno della mia risposta 🙂
• Oh, ora capisco cosa stai dicendo. Con ” build “, intendo qualcosa di diverso: inizia con una tessera; questa è la tua prima forma. Quindi aggiungi una tessera dopo laltra, fino a raggiungere la piastrellatura che avevi originariamente.
• No, per me sta iniziando da uno stato valido (devi solo darne uno, che ‘ s banale) quindi applica un qualche tipo di trasformazione che ti lascia in un altro stato valido. Costruire come dici è più difficile perché hai bisogno di una sorta di ” prelazione ” che è possibile ma richiede la ricerca, mentre nel mio post Non ‘ uso alcuna ricerca, ma solo ” transizioni ” prefissate ragionamento molto semplice ..

Consideriamo la griglia triangolare per colonna.

Ogni colonna nella metà sinistra ne ha una più triangoli con punta a sinistra rispetto a triangoli con punta a destra. Nella metà destra cè un eccesso di un triangolo con punta a destra.

Le losanghe diagonali contribuiscono a formare esattamente un triangolo con punta a sinistra e uno a destra in un colonna. Ignoriamoli. Ti rimangono i triangoli che fanno parte di una losanga orizzontale. Una losanga orizzontale è composta da un triangolo rivolto a sinistra in una colonna (rosso) e da un triangolo corrispondente rivolto a destra nella colonna a destra (verde).

I triangoli che ignoriamo sono costituiti da coppie di triangoli rivolti a sinistra e a destra in una colonna. Quindi in ogni colonna deve esserci ancora un eccesso su un triangolo rosso nella metà sinistra e un eccesso di un triangolo verde nella metà destra.

Nella prima colonna deve esserci un triangolo rosso perché cè un eccesso di uno e non può esserci un triangolo verde. Quel triangolo è abbinato a un triangolo verde nella seconda colonna. Nella colonna 2 cè un triangolo verde 1, quindi deve esserci un triangolo rosso in più. Questo è 2. Questi 2 triangoli rossi hanno triangoli verdi corrispondenti nella terza colonna, ecc.

Come vedi cè un altro triangolo rosso in ogni colonna successiva, fino alla linea centrale. Lultima colonna prima della linea mediana ha 5 triangoli rossi. Ci sono 5 triangoli verdi corrispondenti a destra della linea mediana. Ma ancora ora abbiamo un eccesso di 1 triangolo verde, il conteggio dei triangoli rossi diminuisce a 4. Da lì in poi il conteggio diminuisce con ogni colonna. Il risultato è che, indipendentemente da come sono posizionate le losanghe, i triangoli rossi contano nelle colonne formano la sequenza 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0, che somma a 25.

Ciò significa che ci saranno sempre 25 triangoli rossi. E queste sono le metà delle losanghe orizzontali, quindi ci saranno 25 losanghe orizzontali.

Per simmetria rotazionale lo stesso vale per le losanghe diagonale sinistra e diagonale destra. Ciò significa che indipendentemente da come vengono posizionate, ci saranno sempre 25 di ciascuno dei 3 tipi di losanghe.

QED

Ecco il mio tentativo di dimostrarlo .. Sembrava impossibile fino a quando non ho finalmente sfruttato un trucco.

Parto da una configurazione valida dove cè solo una modifica possibile (ruotando le 3 semilinee al centro: qualsiasi altra modifica cambierebbe allo stesso tempo il numero di diamanti e creerebbe triangoli.)

Una volta che hai fatto questa modifica sei libero di annullarla (inutile, la contrassegnerò in blu) o di fare altre 3 modifiche (in rosso). Noti immediatamente che puoi fare quella “modifica” solo sui punti che hanno linee posizionate come il centro della prima mossa o il centro del cubo iniziale.

Una volta eseguita la seconda mossa, non sarai in grado di annullare la prima mossa (ora grigio) perché così facendo si creerebbero triangoli e altre forme.

(Supponendo che la mia prima mossa fosse una rotazione in senso orario di 1/6 di giro, il mio annullamento è di 1/6 in senso antiorario)

Fondamentalmente puoi controlla che le uniche mosse possibili siano rotazioni di un gruppo di tessere composto da 3 diamanti (1 per ogni orientamento) (puoi controllare tutte le mosse possibili su un “cubo” 2x2x2 e vedere che è vero).

Quindi si nota anche che la rotazione mantiene lo stesso numero di diamanti per ogni orientamento.

Manca un pezzetto della dimostrazione: non ho mostrato che a partire dal mio primo cubo posso fare tutte le piastrellature possibili, perché le rotazioni hanno “interdipendenze” e io non sapere se ad un certo punto “mi bloccherò” senza più mosse possibili.

Sono troppo assonnato per quella dimostrazione, ma ho sviluppato un altro metodo di prova che ti lascerò il piacere di usarlo:

Estrusione di colonne a partire da un cubo “vuoto”:

Vedi che non puoi estrudere una colonna a una lunghezza maggiore delle colonne precedenti (ci sono 2 direzioni per controllare le colonne precedenti) perché otterrai triangoli.

Ora hai un modo per calcolare veramente tutti i tasselli possibili. inizia con la colonna più in fondo e, una volta stabilita laltezza, puoi estrudere i 2 vicini a qualsiasi altezza inferiore o uguale alla colonna più in fondo. Dopodiché puoi fare lo stesso per le 3 colonne successive.

Cè nessuna dipendenza dalle rotazioni qui. Scegli un file numero, quindi puoi scegliere di nuovo lo stesso numero o un numero inferiore. È molto più facile, ma fatevi aiutare dallimmaginazione (3a dimensione in un problema che ha 2 dimensioni).

Beh, probabilmente non è una dimostrazione formale. Ma aiuta limmaginazione, hai 2 modi per affrontare il problema, e probabilmente questi possono essere aggirati per una prova formale. Ma penso che sia più interessante lintuizione che la dimostrazione. Senza un po di intuizione non ci saranno mai prove.

La chiave sembra essere sempre la stessa. Partendo da una banale configurazione le uniche mosse possibili, incidentalmente, preserva il numero di rombi per ogni configurazione.

P.S:

Non ho mai visto prima quel puzzle. Spero che ti piaccia la mia prima risposta in un confronto sconcertante.

Dal piastrellatura triangolare con un “confine cubo”, possiamo vedere che:

• ci sono un numero uguale di segmenti di linea in $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• ogni rombo copre esattamente un tipo di segmento di linea

Commenti

• ‘ non sto solo ripetendo quello che ha detto leoll2, che quando ” estrudere parti del pavimento ” che ” larea su cui puoi camminare non ‘ t cambia “.
• Questo ‘ è in realtà una prova molto migliore delle mie risposte. È ‘ interessante che tu ignori tutte le linee visibili e ti concentri invece su quelle invisibili.

Se assegniamo $ S $ come la lunghezza del lato dellesagono (in numero di lunghezze del lato del diamante) e $ A $, $ B $, $ C $ a essere il numero di diamanti di ogni tipo dove $ A $ è più lungo che alto, $ B $ punta in basso a destra / in alto a sinistra e $ C $ punta in basso a sinistra / in alto a destra.

il numero totale di diamanti (ovvero larea) ci consente di fare questa equazione:

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

Immagina $ S = 1 $ esagono … Ci sono solo 2 soluzioni uguali ruotate di 30 gradi. Devono essere presenti tutti e tre i diamanti in ordine della porzione centrale per sommare fino a 360 gradi.

Possiamo immaginare che ci siano 3 percorsi che procedono dallalto verso il basso, in alto a destra in basso a sinistra, e dallangolo superiore sinistro a quello inferiore destro. Il movimento totale verso il basso per qualsiasi percorso seguito (dallalto verso il basso) deve essere uguale a $ 2S $ ma il movimento da sinistra a destra deve essere zero. Se ti muovi completamente verso il basso su un diamante $ A $, non ti muovi a destra oa sinistra. Se ti muovi verso il basso su un diamante $ B $ o $ C $, ti sposti rispettivamente a destra oa sinistra. Affinché tutti i percorsi non si spostino a sinistra oa destra, il numero totale di $ B $ e $ C $ deve essere uguale. Se ruoti il grafico di 60 gradi in modo che una coppia di angoli diversa punti su / giù, puoi mostrarlo per $ A $ e $ B $ o $ A $ e $ C $.

Commenti

• Puoi approfondire un po da dove provengono questi 3 percorsi? Esistono diversi percorsi possibili (dallalto verso il basso) o unici vista la piastrellatura? Questi sono come un pedone che salta da un diamante a un diamante adiacente, o una formica che segue i bordi?
• È unaggiunta vettoriale … si riferisce a tutti i percorsi che procedono da un angolo a quello opposto senza schienale monitoraggio. È una formica che segue i bordi.
• Per chiarire, non esiste alcun percorso che non segua B = C quindi sommali tutti e B = C

Non sono sicuro che questa sia una risposta completa ma “mi sto stancando.

Sia n = numero di triangoli da un lato. Prendi i diamanti che toccano EDIT: n + 1 unità di bordo adiacenti (solo 1 punto non conta): Almeno un diamante deve essere diverso dagli altri. Lascia che tutti i cambiamenti avvengano negli angoli, con un cambiamento in ogni altro angolo.Abbiamo creato un anello che può contenere un esagono con lato di lunghezza n-1 e il numero di diamanti di ogni tipo è uguale. Induzione fino a n = 1, dove è ovviamente uguale.

Ora lascia che un anello esterno esagonale si discosti dalla nostra politica “i cambiamenti avvengono solo agli angoli”. Colora tutti i diamanti adiacenti al bordo esterno di un certo colore (diciamo, nero) e lascia bianchi i diamanti che sporgono da questo anello. Ora possiamo vedere un loop interrotto che circonda un altro loop (certamente interrotto) di n-1. Colora questo anello interno con un secondo colore, lasciando di nuovo tutti i ribelli bianchi. Fallo fino allesagono n = 1, quindi colora i ribelli in base allorientamento.

Ora, se guardi il mio diagramma, lesagono viola interno vuole davvero una piastrella rossa in basso invece di unarancia e una rosa . Immagina che questo sia un mosaico. Strappa una piastrella rossa e i ribelli arancioni e rosa nel mezzo, e metti lì la piastrella rossa. Lesagono viola ora è felice. Ora rendi felice lesagono verde (un cambiamento solo in ogni altro angolo) – Il diamante laterale inferiore vuole essere due diamanti inclinati per adattarsi allesagono viola – aggiungi le nostre tessere arancioni e rosa a lato, mettendo la tessera verde ovunque abbiamo rubato la piastrella rossa da prima. Penso che sia chiaro che questo processo può essere continuato fino a raggiungere il nostro “esagono ottimale”. Il mio cervello è troppo fritto per dimostrarlo definitivamente, però.

EDIT: Credo che queste due cose siano vere: 1. Se prendiamo un esagono non ottimale, ogni loop concentrico sarà infelice 2. Fissare un loop infelice aggiunge necessariamente tessere alla nostra “mano” di tessere di mosaico rimosse 3. Per riparare lesagono più interno, rapina qualsiasi ribelle appropriato.

Con queste due cose in mente, è impossibile che vorremo riparare un esagono ma non avremo tessere nella nostra “mano” di tessere rimosse, supponendo che ci sia almeno un ribelle del tipo richiesto dal ciclo n = 1.

Non sono necessarie prove lunghe. Pensa in 3D.

Immagina che alcuni cubi siano fissati in un angolo di una stanza. I tre orientamenti sono le facce che vediamo poiché da ogni lato abbiamo bisogno di vedere lo stesso numero di facce.

Commenti

• cè anche una prova dalla numerazione. Metti due 0 in un angolo e costruisci il numero in modo che i 3 orientamenti sommino sempre -1,0 e 1. Aggiungendo riga per riga la somma totale sarà 0 Pertanto X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0 che significa X = Z. Ora ruota la numerazione di 120 gradi Con un argomento simile X = Y Questo completa la dimostrazione
• Sfortunatamente questa è essenzialmente la stessa della risposta già data da leoll2, e che è stata dimostrata nella risposta di Sebastian Reichelt. La prova che hai menzionato nel tuo commento era già stata pubblicata anche nella seconda risposta di Sebastian Reichelt.

In ordine per dimostrare questo principio, attraverso la programmazione Pascal per generare diversi layout di diamante, attraverso diversi colori, scoprirai che questo problema di pavimentazione 2D è diventato un problema di generazione di modelli 3D, e questi modelli sono molto simili alla pianificazione urbana o allarchitettura. Un calcolo di prova del layout della torre e del podio. Unaltra caratteristica è che il modello tridimensionale generato non ha una grande parte superiore e una piccola parte inferiore, ed è un layout parallelepipedo rettangolare stabile. Un ” aggiornamento ” da un problema bidimensionale a un layout tridimensionale. ional

Commenti

• In che modo questo prova laffermazione nella domanda?