Mi è stato dato un problema per i compiti in cui dovevamo calcolare il tempo prima che un oggetto in caduta raggiungesse una certa velocità quando si tiene conto della forza di trascinamento. Lho fatto impostando laccelerazione in funzione della velocità e integrandola (era unequazione differenziale).
Tuttavia, questo è un corso introduttivo di fisica, in cui non è richiesta alcuna conoscenza del calcolo. Non abbiamo ancora nemmeno fatto le derivate, in senso stretto. Sono stato abbastanza fortunato da aver fatto il calcolo prima, quindi ero in grado di riconoscere e risolvere lequazione differenziale.
Quando ho chiesto ai miei compagni di classe come facevano, mi hanno detto che hanno scherzato con i numeri finché non hanno ottenuto qualcosa che funzionasse (era online senza punti detratti per le risposte sbagliate Per la maggior parte di loro, hanno semplicemente diviso la velocità terminale per laccelerazione dovuta alla gravità, il che non ha senso, dal momento che non ci è stato nemmeno chiesto il tempo necessario per raggiungere la velocità terminale, ma il 63%. Quel metodo è appena arrivato allo stesso numero di quello corretto.
La mia domanda è: cè un modo per trovare questo valore usando la fisica elementare, o il mio professore ci ha dato un problema ingiusto? I TA non sono stati di alcun aiuto e ho lezione durante il suo orario di ufficio.
La domanda stessa è la seguente:
la velocità terminale di una goccia di pioggia 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg è di circa 9 m / s. Assumendo una forza di trascinamento $ F_D = −bv $, determinare il tempo necessario affinché tale caduta, partendo da fermo, raggiunga 63 % della velocità del terminale.
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- Poiché la risposta implica un esponenziale / logaritmo unidirezionale o un altro, si dovrebbe sviluppare una sorta di soluzione che coinvolga un esponenziale / logaritmo Scegli il tuo veleno … Ho la sensazione che ' sarà unapprossimazione del calcolo.
- Penso che una soluzione che coinvolga i logaritmi sarebbe un gioco leale. ' ci si aspetta che lo sappia. Il problema è che posso ' Per quanto mi riguarda, penso a un modo per farlo che non ' implichi unequazione differenziale. Forse io ' s perché ' sono abituato a fare i problemi in questo modo dopo aver preso il calcolo. Se qualcuno potesse inventare un altro metodo, sarebbe molto apprezzato.
- ' potrebbe riferirsi che il 63% è $ 1 – e ^ {- 1} $
Risposta
Se la forza di trascinamento viene modellata come una funzione lineare della velocità $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, il problema è semplice . Il bilanciamento della forza verticale per una goccia in caduta è $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ che fornisce la seguente equazione differenziale per la velocità: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ Nel caso limite della velocità massima / accelerazione zero $ (\ dot {v} = 0) $, il bilanciamento delle forze si semplifica in $$ mg = bv_ {max} , $$ o $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Tornando alla nostra equazione differenziale, se la velocità iniziale $ v (0) = 0 $, allora la soluzione questa ODE è $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Definendo la costante di tempo come $ \ tau = \ frac { m} {b} $ e usando la definizione della velocità terminale, levoluzione temporale della velocità si semplifica in $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ La posizione, se lo si desidera, si trova abbastanza facilmente eseguendo unaltra integrazione: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Assumendo che la posizione iniziale $ y (0) = 0 $ e semplificando, la soluzione per la posizione verticale è quindi $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ sinistra [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Quindi ora abbiamo soluzioni analitiche per laccelerazione, la velocità e la posizione delloggetto in caduta in funzione del tempo e dei parametri di sistema, tutti noti ( tranne $ b $). Si noti, tuttavia, che il tempo richiesto per raggiungere una velocità di $ 0.63v_ {max} $ non è arbitrario. Dopo che una costante di tempo è passata, avremo $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Quindi, dobbiamo semplicemente calcolare il valore della costante di tempo e il valore risultante sarà la tua risposta. Per quanto riguarda i tuoi compagni di classe, non si sbagliano. Il nostro obiettivo è calcolare $ \ tau $, e se guardi attentamente ai nostri calcoli precedenti vedrai che $ \ tau $ è effettivamente uguale alla velocità terminale divisa per $ g $. I grafici di ottava delle funzioni di posizione, velocità e accelerazione sono inclusi di seguito come riferimento (sostituisci $ k $ con $ b $ nel secondo grafico).
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- Sì, non ci è mai stato insegnato questo equazione a cui ti sei collegato. Ma grazie, questo è praticamente esattamente quello che stavo cercando.Volevo solo sapere se cera un metodo più generale per risolvere questa domanda che avremmo dovuto essere in grado di capire, e sembra che la risposta sia no.
- @JakeChristensen Potrebbe essercene ancora un altro modo per trovare la tua risposta, ma ricorda che il calcolo (almeno il calcolo di Newton ' s) è stato inventato per risolvere i problemi di fisica 😉
Risposta
Di solito la resistenza è proporzionale alla velocità al quadrato, quindi laccelerazione verso il basso è
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
La soluzione a tale movimento è $$ \ begin {align} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {align} $$
Quindi inserisci la velocità $ v $ che desideri scegliere come target e ti darà la distanza $ x $ e $ t $ per raggiungerlo.
PS. Se non conosci il parametro di trascinamento $ \ beta $ , ma invece conosci la velocità massima, puoi stimarla dalla velocità massima, risolvendo $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Risposta
1) Trova la forza di resistenza alla velocità terminale. 2) Moltiplica questa forza per 0,63 (63%) 3) Dividi questa nuova forza per la massa della goccia di pioggia 4) Usa il tempo di accelerazione della velocità equazione cinematica da risolvere per il tempo $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
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- Questo non è ' corretto. Presumi che laccelerazione sia costante (cosa che non è esplicitamente in questione riguardante il cambio di velocità e la resistenza dellaria) . ' m presumo che $ a (t) $ significhi $ a * t $, poiché se intendi $ a $ in funzione di $ t $ non ha senso tutti.