Quando si ricava il campo magnetico dovuto a un filo che trasporta corrente, se scegliamo un loop amperiano circolare, possiamo affermare:
$$ \ oint \ vec B \ \ cdot d \ vec s = \ mu_0 \ I $$
Ma a causa del simmetria del loop amperiano, e il fatto che il percorso sia percorso in senso antiorario, possiamo affermare:
$$ \ oint B \ ds = \ mu_0 \ I $$
$$ B \ oint ds = \ mu_0 \ I $$
Tuttavia, non è ovvio per me che il campo magnetico sia parallelo a $ d \ vec s $ in tutte le somme continue. Se $ d \ vec s $ punta allinfinito lungo il circuito amperiano ad ogni incremento, significa che il campo magnetico in ogni punto dovrà puntare esattamente nella stessa direzione.
So che il campo magnetico attorno a un filo si avvolge attorno ad esso, quindi avere un anello amperiano circolare potrebbe raggiungere questo obiettivo, ma:
Supponiamo di aver disegnato un loop amperiano di raggio arbitrario. Come sappiamo che questo si allineerà con un anello di campo magnetico del filo che trasporta corrente in modo che $ d \ vec B $ e $ d \ vec S $ siano ancora paralleli?
Forse questo è possibile, ma posso o non capire perché. Se è il motivo, illustrerò il motivo con un grafico (mal disegnato) che ho appena realizzato:
Dove i cerchi rossi sono linee di intensità di campo magnetico costante e il cerchio nero è lanello amperiano. Quando il loop viene attraversato, con ogni elemento del percorso $ d \ vec S $, situato a un valore $ \ theta $ attorno al loop, i vettori del campo magnetico di tutti gli anelli di intensità del campo magnetico saranno paralleli a loro poiché il loop amperiano è un cerchio. Questo spiegherebbe la necessità di un loop amperiano allineato in questo modo per funzionare.
Se non è così, per favore chiarisci cosa è. Se ha senso. , alcune domande:
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Cosa succede se non usiamo un loop circolare amperiano? Potremmo trovare con precisione il campo magnetico? Sembrerebbe strano se dovessimo scegliere la forma del loop corretta
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Come faccio a sapere che $ d \ vec B $ nel mio grafico non è ” non sarà antiparallelo a $ d \ vec S $ in tutti i punti, piuttosto che parallelo?
Risposta
La cosa bella della legge di Ampere è che non importa quale sia la forma del loop: rimarrà vero anche se scegli una forma divertente loop (o se il tuo campo magnetico è più complicato). Questo potrebbe rendere lintegrazione incredibilmente difficile per te, ma non cambia il fatto che la legge dichiarata è corretta per ogni loop che potresti disegnare. La semplificazione che hai fatto è stata possibile perché hai sfruttato la simmetria in quella specifica configurazione . Nella maggior parte delle situazioni realistiche, non è possibile effettuare una semplificazione così esatta. Potrebbe essere necessaria unapprossimazione o un approccio diverso.
Se il campo magnetico si oppone al senso in cui si attraversa il loop, lintegrale un risultato negativo. Ciò indica che la corrente è negativa (scorre nella direzione opposta).
Commenti
- La domanda qui è sul recupero del magnetico campo, cosa che non puoi fare con un ciclo divertente in cui la corrente non è costante.
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Per un filo infinito sappiamo che il campo magnetico è ovunque circonferenziale. Un altro modo per vederlo è vederlo come r simmetria otazionale sulla circonferenza del filo. Da questo, sappiamo che il campo cambia solo al variare della distanza dal filo e da noi indipendentemente dalla posizione angolare attorno al loop.
Per questo motivo, è conveniente scegliere un loop amperiano circolare perché il campo è costante in ogni punto, quindi possiamo tirare B fuori dallintegrale sul lato sinistro.
Ora la legge di Amper è sempre vera indipendentemente dalla forma del loop che scegli. Ma se il campo varia attorno al loop, dobbiamo effettivamente valutare lintegrale di linea, il che significa che non possiamo usarlo facilmente come strumento per trovare B.
Come la legge di Gauss, è uno strumento molto potente ma utile solo per trovare facilmente il campo se abbiamo un qualche tipo di simmetria.