Che cosè, in termini più semplici, linvarianza di gauge?

Il motivo per cui è così difficile capire cosa intendono i fisici quando parlano di “libertà di misura” è che ci sono almeno quattro definizioni inequivalenti che ho “visto” usate :

• Definizione 1: una teoria matematica ha una libertà di gauge se alcuni dei gradi di libertà matematici sono “ridondanti” nel senso che due diverse espressioni matematiche descrivono lo stesso identico sistema fisico . Quindi i gradi di libertà ridondanti (o “dipendenti da gauge”) sono “non fisici” nel senso che nessun possibile esperimento potrebbe determinare in modo univoco i loro valori, anche in linea di principio. Un esempio famoso è la fase complessiva di uno stato quantistico: è completamente non misurabile e due vettori nello spazio di Hilbert che differiscono solo per una fase complessiva descrivono lo stesso identico stato. Un altro esempio, come hai detto, è qualsiasi tipo di potenziale che deve essere differenziato per produrre una quantità fisica, ad esempio una funzione energetica potenziale (sebbene alcuni dei tuoi altri esempi, come la temperatura, non siano esempi di quantità dipendenti dal misuratore, perché cè un senso fisico ben definito di temperatura zero).

  Per i sistemi fisici che sono descritti da strutture matematiche con una libertà di gauge, il modo migliore per definire matematicamente una specifica configurazione fisica è come una classe di equivalenza di funzioni dipendenti da gauge che differiscono solo per i loro gradi di libertà di gauge . Ad esempio, nella meccanica quantistica, uno stato fisico non è effettivamente descritto da un singolo vettore nello spazio di Hilbert, ma piuttosto da una classe di equivalenza di vettori che differiscono per un mul tiple. O più semplicemente, da una linea di vettori nello spazio di Hilbert. (Se vuoi avere fantasia, lo spazio degli stati fisici è chiamato “spazio di Hilbert proiettivo”, che è linsieme di linee nello spazio di Hilbert, o più precisamente una versione dello spazio di Hilbert in cui i vettori sono identificati se sono proporzionali Suppongo che potresti anche definire “energie potenziali fisiche” come insiemi di funzioni energetiche potenziali che differiscono solo per una costante additiva, sebbene in pratica questo “è un po eccessivo. Queste classi di equivalenza rimuovono la libertà di gauge per costruzione, e quindi sono “invarianti di gauge”.

  A volte (anche se non sempre) cè “una semplice operazione matematica che rimuove tutti i gradi di libertà ridondanti preservando tutti quelli fisici. Ad esempio, data unenergia potenziale, si può prendere il gradiente per produrre un campo di forza, che è direttamente misurabile.E nel caso della classica E & M, ci sono alcune combinazioni lineari di derivate parziali che riducono i potenziali a $ {\ bf E} $ e $ {\ bf B} misurabili direttamente $ campi senza perdere alcuna informazione fisica. Tuttavia, nel caso di un vettore in uno spazio quantistico di Hilbert, non esiste una semplice operazione derivativa che rimuova la libertà di fase senza perdere nientaltro.

• Definizione 2: la stessa come Definizione 1, ma con lulteriore requisito che i gradi di libertà ridondanti siano locali . Ciò significa che esiste un qualche tipo di operazione matematica che dipende da un arbitrario regolare funzione $ \ lambda (x) $ sullo spaziotempo che lascia invarianti i gradi di libertà fisici (cioè le quantità misurabili fisicamente). Lesempio canonico ovviamente è che se prendi qualsiasi funzione liscia $ \ lambda ( x) $, quindi aggiungendo $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ al quadripotenziale elettromagnetico $ A_ \ mu (x) $ le quantità fisiche ($ {\ bf E} $ e $ {\ bf B } $ campi) invariato. (Nella teoria dei campi, il requisito che i “gradi di libertà fisici” siano invariati è formulato nel senso che richiede che la densità lagrangiana $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ rimanga invariata , ma sono possibili altre formulazioni.) Questa definizione è chiaramente molto più rigorosa – gli esempi forniti sopra nella Definizione 1 non contano in questa definizione – e la maggior parte delle volte in cui i fisici parlano di “libertà di gauge” questa è la definizione che intendono. In questo caso, invece di avere solo pochi gradi di libertà ridondanti / non fisici (come la costante complessiva per la tua energia potenziale), hai un numero continuamente infinito. (Per rendere le cose ancora più confuse, alcune persone usano la frase “simmetria di gauge globale” nel senso della Definizione 1 per descrivere cose come la libertà di fase globale di uno stato quantistico, che sarebbe chiaramente una contraddizione in termini nel senso di Definizione 2.)

  Si scopre che per affrontare questo problema nella teoria quantistica dei campi, è necessario modificare sostanzialmente il proprio approccio alla quantizzazione (tecnicamente, è necessario “misurare lintegrale del percorso”) in modo per eliminare tutti i gradi di libertà non fisici. Quando si parla di quantità “invarianti di gauge” in questa definizione, in pratica di solito si intendono le derivate misurabili direttamente fisicamente, come il tensore elettromagnetico $ F _ {\ mu \ nu} $, che rimangono invariate (“invarianti”) sotto ogni trasformazione di gauge . Ma tecnicamente, ci sono anche altre quantità invarianti di gauge, ad es. una sovrapposizione quantistica uniforme di $ A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ su tutti i possibili $ \ lambda (x) $ per qualche $ A_ \ mu (x) particolare. $

  Vedi il post del blog di Terry Tao per unottima spiegazione di questo secondo senso di simmetria di gauge da una prospettiva più matematica.

• Definizione 3: a volte si dice che una lagrangiana possiede una “simmetria di gauge” se esiste qualche operazione che dipende da una funzione continua arbitraria sullo spaziotempo che la lascia invariante, anche se i gradi di libertà vengono cambiati sono misurabili fisicamente.

• Definizione 4: per una “teoria di gauge su reticolo” definita su Hamiltoniane reticolari locali, esiste un operatore supportato su ciascun sito reticolare che commuta con lhamiltoniano. In alcuni casi, questo operatore corrisponde a una quantità misurabile fisicamente.

I casi delle definizioni 3 e 4 sono un po concettualmente sottili, quindi non vado in loro qui – posso affrontarli in seguito -up domanda se qualcuno è interessato.

Aggiorna: Ho “scritto le risposte di follow-up riguardo alla possibilità di misurare fisicamente i gradi di libertà dellindicatore nel caso hamiltoniano e il caso Lagrangiano .

Commenti

• Ottima risposta! Questo è uno dei migliori espianti (in un unico posto) che abbia mai incontrato !!!! : D
• Ho posto la domanda di follow-up sulle sottigliezze tra # 3 e # 4
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Vedi laggiornamento alla fine della mia risposta per i link ai miei follow-up.

Lho capito solo dopo aver seguito un corso di relatività generale (GR), geometria differenziale e teoria quantistica dei campi (QFT). Lessenza è solo un cambiamento dei sistemi di coordinate che deve riflettersi nella derivata. Spiegherò cosa intendo.

Hai una teoria che è invariante sotto qualche gruppo di simmetria. Quindi nellelettrodinamica quantistica hai una densità lagrangiana per i fermioni (ancora nessun fotone) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ Questo $ \ bar \ psi $ è solo $ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $, importante è che sia complesso coniugato.Il fatto che sia un quadrivettore nello spazio di spin qui non interessa. Quello che si può fare ora è trasformare $ \ psi \ in \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ con un po di $ \ alpha \ in \ mathbb R $. Quindi $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ e la lagrangiana sarà invariante poiché la derivata non agisce sulla funzione esponenziale, è solo un fattore di fase. Ecco una simmetria globale.

Ora promuovi la simmetria a una locale, perché no? Invece di un $ \ alpha $ globale, uno ora ha $ \ alpha (x) $. Ciò significa che scegliamo un $ \ alpha $ diverso in ogni punto dello spaziotempo. Il problema è che quando trasformiamo ora, si prende $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ con le regole di differenziazione della catena e del prodotto. Allinizio sembra una complicazione tecnica.

Cè un modo più chiaro per vederlo:
Prendi una derivativa di un campo $ \ psi (x) $. Ciò significa prendere un quoziente di differenza come $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) } {\ epsilon} \,. $$ Funziona perfettamente con una trasformazione globale. Ma con la trasformazione locale, in pratica sottrai due valori che sono misurati in modo diverso. Nella geometria differenziale si ha che gli spazi tangenti nei diversi punti della varietà sono diversi e quindi non si possono confrontare i vettori solo per i loro componenti. È necessaria una connessione con coefficienti di connessione per fornire trasporto parallelo . È simile qui. Ora abbiamo promosso $ \ phi $ da $ \ mathbb R ^ 4 $ a vivere nel bundle $ \ mathbb R ^ 4 \ times S ^ 1 $ poiché abbiamo un gruppo di gauge U (1). Quindi abbiamo bisogno di una sorta di connessione per trasportare il $ \ phi $ trasformato da $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ a $ x $. Qui è dove si deve introdurre una connessione che è $$ \ partial_ \ mu \ a \ mathrm D_ \ mu: = \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Se lo inserisci nella densità di Lagrange per renderlo $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ e poi scegli $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ vedrai che la densità lagrangiana rimane invariante anche sotto trasformazioni locali poiché il coefficiente di connessione sottrarrà semplicemente il termine indesiderato dalla regola del prodotto / catena.

Nella relatività generale hai la simmetria sotto diffeomorfismo arbitrario, il prezzo è che devi cambiare la derivata in una connessione, da $$ \ partial \ a \ nabla: = \ partial + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Dato che hai menzionato il fatto di provenire da un background matematico, potresti trovare carino prendere una risposta in termini di classi di equivalenza.

Una teoria di gauge è una teoria fisica in cui le quantità osservabili, come le cose che potresti misurare con un esperimento con unapparecchiatura di misurazione perfetta, sono classi di equivalenza in uno spazio vettoriale.

Lelettromagnitismo è lesempio più comune. Le moderne teorie della fisica sono sempre scritte come fasci di fibre in cui la varietà sottostante è lo spaziotempo e le fibre sono uno spazio tangente associato a ciascun punto (chiamato evento) nello spaziotempo. E & M nello spazio libero (nessun addebito presente) viene descritto associando un oggetto a 4 componenti chiamato $ A _ {\ mu} $ a ciascun punto spaziotemporale, $ x $ e richiedendo $ A _ {\ mu} (x) $ per soddisfare le equazioni di maxwell.

Tuttavia, le quantità osservabili, ugualmente misurabili, in natura sono i campi elettrico e magnetico, $ \ vec {E} (x) $ e $ \ vec {B} (x) $. Questi sono derivati da $ A _ {\ mu} (x) $ utilizzando la definizione data in questo wiki (guarda gli elementi della matrice di $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Risulta che la trasformazione $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ per qualsiasi funzione doppiamente differenziabili $ f (x) $ fornisce gli stessi valori dei campi osservabili $ \ vec {E} (x) $ e $ \ vec {B } (x) $. Quindi esiste una relazione di equivalenza

$ A _ {\ mu} (x) \ approx A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ .

E in generale, le teorie di gauge sono teorie in cui le quantità osservabili sono funzioni su classi di equivalenza di alcuni vettori in uno spazio vettoriale. in questo caso i nostri vettori erano $ A _ {\ mu} (x) $ (questi sono vettori nello spazio delle funzioni di funzioni due volte differenziabili nello spaziotempo), e la nostra relazione di equivalenza è stata data sopra.

Per quanto riguarda la tua finale la domanda se cose come lenergia totale del sistema determinata solo fino a un fattore costante in qualsiasi sistema di riferimento renda la dinamica newtoniana una teoria di gauge. La risposta è no, non proprio. Fondamentalmente, se non stai parlando di una teoria dei campi, un fisico non chiamerà la cosa una teoria di gauge.

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• Bella risposta, ma forse sarebbe più preciso dire che gli osservabili in una teoria di gauge sono funzioni su un insieme di classi di equivalenza di [cose come connessioni e sezioni di bundle] equivalenza del misuratore mod.La frustrazione della teoria di gauge è che non possiamo ‘ conoscere molti casi in cui possiamo descrivere queste funzioni se non fornendo funzioni sulle connessioni e sezioni.
• Hai ragione, la mia lingua è un po sciatta. Dovrebbe leggere qualcosa come ” osservabili sono funzioni sulle classi di equivalenza di alcuni spazi vettoriali. ”

Linvarianza dellindicatore è semplicemente una ridondanza nella descrizione di un sistema fisico. Cioè possiamo scegliere tra un numero infinito di potenziali vettoriali in E & M.

Ad esempio, un numero infinito di potenziali vettoriali può descrivere lelettromagnetismo mediante la trasformazione seguente

$$ A (x) \ to A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ alpha (x) $$

La scelta di un indicatore specifico (correzione indicatore) può rendere risolutivo un problema fisico molto più facile di quanto sarebbe se non si aggiustasse un indicatore.

Normalmente si sceglie lindicatore di Coulomb: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Dovrebbe Va sottolineato che linvarianza di gauge NON è una simmetria della natura e non è possibile misurare nulla ad essa associato.

Linvarianza di gauge è molto utile nella teoria quantistica dei campi ed è fondamentale per dimostrare la rinormalizzabilità. Inoltre gli elementi della matrice S in QFT richiedono una lagrangiana locale e quindi linvarianza di gauge.

Come esempio del motivo per cui dovremmo introdurre il vettore potenziale $ A ^ \ mu $, considerare leffetto Aharonov-Bohm che si verifica a causa di proprietà topologiche globali del potenziale vettoriale. Ci sono ancora altri motivi per cui linvarianza di gauge semplifica la vita, riducendo i gradi di libertà del fotone nella cosiddetta covariante o $ R_ \ xi $ gauge, causalità, ecc. Essenzialmente lutilità dellinvarianza di gauge non diventa del tutto evidente finché non si inizia a provare lavorare attraverso la teoria quantistica dei campi. : D

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• @ user122066 Per riferimento futuro, se devi cercare un simbolo, vedi questa domanda tex.SE . Ma solo alcuni comandi (La) TeX sono supportati in MathJax. Consulta la documentazione di MathJax per un elenco.
• Per tutti i riferimenti a MathJax, controlla questo: Tutorial di base e riferimento rapido di MathJax
• @ user122066: hai scritto: ” Ora è una proprietà assolutamente cruciale della fisica moderna e potremmo benissimo essere persi senza di essa! ” Penso che tu esageri qui e questo è ciò che rende una frase del genere ” spaventoso “. Non ci sono prove che dobbiamo lavorare solo con le ” teorie di gauge “. Altri approcci sono semplicemente inesplorati.
• @VladimirKalitvianski abbastanza equo. Ci sono relazioni di ricorsione relative alla matrice S che evitano i misuratori ma ‘ è molto difficile immaginare che venga scoperto qualcosa che renda la conputing più facile dellinvarianza di gauge. Hai assolutamente ragione però. Eliminerò questa parte
• (Utile anche per cercare simboli TeX – Detexify .)

Questi calcoli molto spesso dipendono solo dalla differenza tra due valori, non dai valori concreti stessi . Sei quindi libero di scegliere uno zero a tuo piacimento. È un esempio di invarianza di gauge nello stesso senso degli esempi graduate sopra?

Sì, lo è, nella definizione più generale di invarianza di gauge, è ciò che i fisici chiamano invarianza di gauge globale . Ne parleremo più avanti.

Se dovessi scrivere una risposta di una frase al tuo titolo, sarebbe questa:

Linvarianza del misuratore è la ben definizione della legge fisica sotto una mappa quotent che condensa una configurazione / spazio dei parametri / coordinate per un sistema fisico in un insieme di classi di equivalenza di configurazioni fisicamente equivalenti.

Questo è nello stesso senso che, ad esempio, il prodotto coset è ben definito sotto la mappa che divide il sottogruppo normale di un gruppo. La fisica di una configurazione è indipendente dalla scelta del membro della classe di equivalenza .

In termini minimi, linvarianza di gauge è semplicemente unaffermazione che cè ridondanza in una descrizione matematica di un sistema fisico. In altre parole, il sistema ha una simmetria , uninvarianza rispetto a un gruppo di trasformazioni.

Una simmetria di gauge globale è quella in cui lo spazio di configurazione è un semplice prodotto cartesiano ( cioè un banale fascio di fibre) dellinsieme di classi di equivalenza fisicamente distinte e un parametro ridondante, come nellesempio della differenza tra due valori. Se la descrizione fisica è una descrizione lagrangiana, allora è qui che il teorema di Noether viene alla ribalta e identifica le quantità conservate, una per ogni parametro ridondante.Il gruppo di gauge, cioè gruppo di simmetrie, influenza tutte le classi di equivalenza (fibre) allo stesso modo. La sottrazione di un potenziale costante da un potenziale elettrostatico è una tale simmetria e un enorme progresso per Corvid Civilization, in quanto consente ai corvi di sedersi su linee elettriche ad alta tensione e sparare felicemente insieme, discutendo i loro ultimi pensieri sulle teorie di gauge e dichiarando che ” Mai più! ” dobbiamo temere che laggiunta globale di 22kV al potenziale elettrostatico possa cambiare la fisica del sistema a cui apparteniamo.

Tuttavia, di solito quando i fisici parlano di una teoria di gauge, intendono quella in cui il gruppo di simmetria può agire in un modo più generale, con un membro del gruppo diverso che agisce in ogni punto dello spazio di configurazione. Il corrispondente fascio di fibre non è più banale. Sebbene tu volessi un esempio più semplice dellelettrodinamica, non credo che ce ne sia uno. La fase aggiunta alla funzione donda elettronica può essere qualsiasi funzione regolare delle coordinate, e i termini extra che derivano dalla regola di Leibniz applicata alle derivate in le equazioni del moto della funzione donda (Dirac, Schrödinger) sono esattamente assorbite nella parte chiusa della forma unica potenziale EM. Per inciso, per inciso, mi piace sempre visualizzare il potenziale EM nello spazio di Fourier, cosa che possiamo fare con restrizioni ragionevoli ( eg un postulato secondo cui penseremo solo a distribuzioni temperate, per esempio) , perché la parte spaziale della parte ridondante del quattro-potenziale è quindi la sua componente lungo il vettore donda ( ie pensato come un 3-vettore), e solo la componente normale al vettore donda conta fisicamente: è lunica parte che sopravvive a $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

Ci sono due cose che credo dovresti prendere dallesempio EM:

1. Anche se praticamente porta a un po di ulteriore complessità, concettualmente è solo un piccolo salto dal tuo semplice esempio simmetrico di gauge globale; permettiamo semplicemente alle simmetrie di agire localmente invece di agire su tutti i punti dello spazio di configurazione allo stesso modo;

2. Prendendo un esempio dallelettromagnetismo sperimentalmente reale , postuliamo che questa invarianza di gauge m Potrebbe essere rilevante più in generale, e quindi osserviamo la sua presenza in altri fenomeni fisici. Questo non è altro che un atto motivato da unintuizione. Sperimentalmente , troviamo che questa è una cosa fruttuosa da fare. In fisica, non esiste una visione più profonda dei risultati sperimentali.

Infine dovrei menzionare che le nozioni di gauge / fascio di fibre sono utili anche quando dichiariamo artificialmente classi di equivalenza di configurazioni fondate sulle esigenze del nostro problema , anche se cè una differenza fisica tra i membri della classe di equivalenza. Uno degli esempi più belli di questo modo di pensare è Montgomery “s ” Gauge Theory of the Falling Cat “. Studiamo classi di equivalenza della configurazione del gatto che sono equivalenti modulo la corretta isometria euclidea per formulare uno spazio a forma di gatto , che, nel trattamento standard in cui il gatto è pensato come un robot a due sezioni con giunto sferico senza torsioni, risulta essere il piano proiettivo reale $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Lintero spazio di configurazione è quindi un fascio di fibre con lo spazio di forma $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ come base e il gruppo $ SO (3) $ che definisce gli orientamenti come fibra . Il gatto può capovolgere conservando il momento angolare utilizzando deformazioni cicliche della propria forma a causa della curvatura della connessione che deriva dalla nozione di trasporto parallelo implicita nella conservazione del momento angolare.

Ecco lesempio più elementare di simmetria di gauge a cui riesco a pensare.

Supponi di volere t o discuti di alcune formiche che camminano su una banda di Möbius. Per descrivere le posizioni delle formiche, è conveniente immaginare di tagliare la fascia lungo la sua larghezza, in modo che diventi un rettangolo. Quindi puoi dirmi dove si trova una formica dicendomi tre cose:

• La sua latitudine : la sua posizione lungo la larghezza del rettangolo.
• La sua longitudine : la sua posizione lungo la lunghezza del rettangolo.
• Il suo orientamento , se è aggrappata alla superficie superiore o inferiore del rettangolo.

Il significato di longitudine dipende dalla posizione del quel taglio immaginario. Se sposti il taglio, la longitudine di tutte le formiche cambia. Non può esserci alcuna ragione fisica per preferire un taglio rispetto a un altro, perché puoi far scorrere la fascia lungo la sua lunghezza senza cambiare la sua forma o influenzare il comportamento delle formiche. parole, non può esserci alcuna nozione fisicamente significativa di longitudine assoluta, perché la banda ha una simmetria di traduzione .

Allo stesso modo, il significato di orientamento dipende da come etichetti le superfici del rettangolo come sopra e sotto.Non può esserci alcuna ragione fisica per preferire unetichettatura rispetto a unaltra, perché è possibile scambiare le due superfici della fascia senza modificarne la forma o influenzare il comportamento delle formiche. Questo scambio è un esempio di simmetria di gauge . Ha alcune caratteristiche sorprendenti che non sono condivise dalle normali simmetrie. Diamo unocchiata a una di esse.

Per ogni simmetria di una situazione, ci sono alcuni aspetti della situazione che può essere descritto in più modi, senza alcun motivo fisico per scegliere tra di loro. A volte, però, è utile fare una scelta e attenersi ad essa, anche se la scelta è fisicamente priva di significato. Nelle discussioni sulle persone che navigano sulla superficie della Terra, ad esempio, praticamente tutti quelli che conosco definiscono la longitudine utilizzando un taglio che attraversa Greenwich, Londra, soprattutto perché alcune persone che viveva lì intorno, conquistò il mondo e stampò molte carte nautiche.

Se “avessimo fatto losservazione delle formiche su una normale banda cilindrica, avremmo potuto” optare per una nozione di orientamento altrettanto facilmente. Avremmo dipinto un lato della fascia turchese per “sopra” e laltro lato blu per “fondo”, e sarebbe così. Su un cinturino Möbius, le cose sono più complicate, perché un cinturino Möbius ha solo un lato! Se provi a dipingere una superficie turchese e la superficie opposta blu, iniziando in una piccola regione della fascia e spostandoti verso lesterno, le aree turchesi e blu si scontreranno inevitabilmente (nella nostra precedente discussione, la collisione era nascosta lungo il taglio in longitudine).

In una situazione con una simmetria ordinaria, come una simmetria di traduzione, non puoi scegliere tra le possibili descrizioni in un modo che sia fisicamente significativo. In una situazione con una simmetria di gauge, potresti anche non essere in grado di scegliere tra le possibili descrizioni in un modo coerente a livello globale! Puoi sempre, tuttavia, scegliere descrizioni coerenti in piccole regioni di spazio. Ecco perché le simmetrie di gauge sono spesso chiamate simmetrie locali .

Avendo tentato una descrizione lunga ed elementare di cosa sia una simmetria di gauge, vorrei “anche offrire uno breve, sofisticato. Nei nostri modelli fisici più semplici, gli eventi si svolgono su una varietà fluida chiamata spazio o spaziotempo . Una simmetria ordinaria è un diffeomorfismo dello spaziotempo che preserva la possibilità fisica degli eventi. Nei modelli più sofisticati, gli eventi si svolgono su un fascio di fibre nello spazio-tempo. Una simmetria di gauge è un automorfismo del fascio di fibre che preserva la possibilità fisica di eventi.

Nel nostro esempio elementare, la banda di Möbius interpreta il ruolo dello spazio e le formiche stanno camminando nella banda “s fascio di orientamento. Il fascio di orientamento ha un automorfismo che scambia le due superfici della banda.

Nellelettromagnetismo classico, lo spaziotempo di Minkowski o qualche altra varietà lorentziana svolge il ruolo di spaziotempo, e il campo elettromagnetico è rappresentato da un connessione su un fascio circolare nello spaziotempo. Nella immagine di Kaluza-Klein , particelle cariche si muovono nel fascio circolare, volando in linea retta le cui “ombre” nello spaziotempo sono i percorsi a spirale che vediamo. Il fascio di cerchi ha una famiglia di automorfismi che ruotano le fibre del cerchio, che le persone fantasiose chiamano $ \ operatorname {U} (1) $ gauge simmetria. Questa immagine generalizza a tutte le teorie classiche di Yang-Mills.

In la immagine di Palatini della relatività generale, una varietà uniforme di $ 4 $ -dimensional svolge il ruolo di spaziotempo e il campo gravitazionale è rappresentato da un $ \ operatorname {SO} (3,1) $ connessione sul fascio di frame del collettore. Ho il sospetto che le simmetrie di gauge della gravità linearizzata che hai citato siano automorfismi del fascio di frame.

Nellimmagine di Einstein della relatività generale, le simmetrie sono diffeomorfismi dello spaziotempo. Li classifico come simmetrie ordinarie, piuttosto rispetto alle simmetrie di gauge. Come menzionato , tuttavia, non tutti usano il termine “simmetria di gauge” allo stesso modo.

Commenti

• Meraviglioso! Lidea della band M ö bius è semplicemente bellissima e cattura davvero tutta lessenza di idee molto più complicate. Cosa Mi piace anche il modo in cui il flusso di idee mostra come il semplice generalizza senza problemi.
• Ehi, cosa ‘ con i tre voti? Non so cosa ‘ è sbagliato con i lurkers su questo sito, questa è la migliore risposta a questa domanda fino ad ora, dati i ‘ requisiti dellOP. In ogni caso, uno dei voti è mio.
• @WetS avannaAnimalakaRodVance, ‘ non mi preoccuperei del numero di voti. Se incontri qualcuno che potrebbe trarre vantaggio da questa risposta, puoi semplicemente collegarlo ad esso direttamente.Come riferimento, funziona altrettanto bene in fondo allelenco di risposte ordinate per voto come in alto.

Esiste uninterpretazione fisica molto interessante dellinvarianza di gauge nel caso della simmetria $ U (1) $. La simmetria di gauge è lunico modo per ottenere linterazione invariante di Lorentz tra materia (in senso lato – il campo di spin arbitrario) e fotoni (essendo particelle prive di massa con elicità 1), che diminuisce come $ \ frac {1} {r ^ { 2}} $ a grandi distanze (questa affermazione non è altro che legge di Coulomb). In breve, il 4-potenziale $ A _ {\ mu} $, che fornisce la legge del quadrato inverso delle interazioni EM, non è covariante di Lorentz e la manifestazione dellinvarianza dellinterazione di Lorentz porta alla conservazione della carica locale.

In realtà, si può dimostrare da considerazioni molto generali, basate sulla simmetria del nostro spazio-tempo, che i fotoni sono presentati dal 4-tensore antisimmetrico $ F _ {\ mu \ nu} $, chiamato Tensore della forza EM . È covariante di Lorentz formalmente (utilizzando manipolazioni ingenue con indici tensoriali) e per costruzione (come il campo che rappresenta particelle con elicità 1), cioè sotto Trasformazione di Lorentz data dalla matrice $ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} $ viene trasformata come $$ F _ {\ mu \ nu} \ in \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ Successivamente, supponiamo di avere campi di materia $ \ psi $ e discutiamo di uninterazione della materia con i fotoni. Il modo più ovvio per ottenere tale interazione è ottenerla con costruire tutte le possibili convoluzioni di $ F _ {\ mu \ nu} $ con campi materia e oggetti covarianti di Lorent (matrici di Dirac, connessione Levi-Civita ecc.). Supponiamo anche di sapere dallesperimento che linterazione cade come $ \ frac {1} {r ^ {2}} $ a grande distanza. Sfortunatamente, questo è impossibile, se usiamo $ F _ {\ mu \ nu} $. La ragione formale è che il propagatore di questo campo, che mostra la legge di interazione, cade più velocemente di $ \ frac {1} {r ^ {2}} $. Questo perché due indici e lantisimmetria di $ F _ {\ mu \ nu} $.

Possiamo dare qualche suggerimento e introdurre loggetto $ A _ {\ mu} $ con un indice, chiamato 4-potenziale : $$ F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ Le interazioni ora sono costruite da convoluzioni di $ A_ { \ mu} $ con campi di materia e altri oggetti covarianti.

Ovviamente, richiediamo che $ A _ {\ mu} $ rappresenti particelle di elicità senza massa 1 così come $ F _ {\ mu \ nu} $. Sfortunatamente, questo requisito porta allaffermazione che il 4-potenziale non è “t Lorentz covariante (sebbene formalmente lo sia, ovviamente). Precisamente, sotto Lorentz il campo di trasformazione $ A _ {\ mu} $, che si presume rappresenti particelle prive di massa di elicità 1, viene modificato come $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ in \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $$ Vediamo che non è covariante di Lorentz. La lagrangiana libera per $ A _ {\ mu} $, che è solo $$ L = – \ frac { 1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}, $$ è invariante di Lorentz.

Ma cè un modo per preservare linvarianza di Lorentz delle interazioni. In questo modo costruirli in modo che siano invarianti sotto la trasformazione $ A _ {\ mu} \ in A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $. Precisamente, lampiezza dellinterazione $ M _ {\ mu_ {1} … \ mu_ {n}} (p_ {i}, \ epsilon_ {j} (k_ {j})) $, dove $ \ epsilon $ sono vettori di elicità fotonica (polarizzazione), $ p_ {i} $ sono tutti i momenti di interazione particelle e $ k_ {j} $ essendo quantità di fotoni), deve b e invariante sotto trasformazione $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu} (p) \ to \ epsilon _ {\ mu} (p) + \ alpha p _ {\ mu} $$ Sul linguaggio formale, come può essere mostrato da trattando processi con emissione di fotoni molli (fotoni con quantità di moto quasi nulle), ciò significa che deve esserci legge di conservazione degli accoppiamenti di materia $ g_ {i} $: $$ g_ {1} + g_ {2} + … = \ text {const} $$ Questa non è altro che la legge sulla conservazione della carica. Insieme a $ (2) $ questa non è altro che $ U (1) $ simmetria di gauge.

Quindi, vediamo che linvarianza di Lorentz delle interazioni dei fotoni con la materia per legge del quadrato inverso porta allinvarianza di gauge. Analogamente si può argomentare il principio di equivalenza per il caso dellinterazione dei gravitoni con tutti i campi.

Le teorie di Gauge descrivono la connettività di uno spazio con piccole dimensioni extra simmetriche

Inizia con un cilindro infinito (il prodotto diretto di una linea e un piccolo cerchio). Il cilindro può essere attorcigliato. Per evitare di fare appello a concetti che sto cercando di spiegare, dirò semplicemente che il cilindro è fatto di rete metallica: cerchi equidistanti saldati a fili che lo percorrono in lunghezza. I fili lunghi possono ruotare come ununità, introducendo una torsione angolare tra ogni coppia di cerchi adiacenti. È chiaro che qualsiasi configurazione del genere può essere continuamente deformata in qualsiasi altra: tutti questi cilindri sono equivalenti dal punto di vista della proverbiale formica che vi striscia sopra.

Sostituisci la linea con un anello chiuso, in modo che il prodotto sia un toro (e pensa al toro come una ciambella a rete, anche se variando il piano dei piccoli cerchi in questo modo si rompe tecnicamente lanalogia). Qualsiasi porzione della ciambella al di fuori dellintera cosa può essere deformata nella stessa porzione di qualsiasi altra ciambella, ma le ciambelle nel loro insieme a volte non possono esserlo, perché la torsione della rete attorno alla ciambella non può essere alterata. Le classi di ciambelle equivalenti sono completamente caratterizzate da questa torsione netta, che è intrinsecamente non locale.

Sostituisci il ciclo (non il piccolo cerchio) con un collettore di due o più dimensioni. È vero, anche se non ovvio, che la parte fisica della connessione è completamente data dalla torsione integrata attorno a tutti i loop chiusi ( Wilson loops ).

$ A $ e $ F $ quantificano la connettività

Nel caso discreto, la connessione può essere descritta più semplicemente dando la torsione tra cerchi adiacenti. Nel limite del continuum, questo diventa un “gradiente di torsione” in ogni cerchio. Questo è $ A_ \ mu $, il cosiddetto potenziale vettoriale.

Qualsiasi deformazione continua può essere descritta da un campo scalare $ \ phi $ che rappresenta la quantità di ogni cerchio è contorto (rispetto a dovera prima). Ciò altera $ A_ \ mu $ del gradiente di $ \ phi $, ma non cambia alcuna quantità fisica (integrale del ciclo).

La descrizione in termini dei cicli di Wilson, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, è più elegante perché include solo quantità fisicamente significative, ma è non locale e altamente ridondante. Se lo spazio è semplicemente connesso, puoi evitare il r edundancy e nonlocality specificando la torsione solo attorno ai loop differenziali, poiché da essi possono essere costruiti loop più grandi. Il cosiddetto tensore di campo, $ \ partial_ \ nu A_ \ mu – \ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $, ti dà esattamente questo.

(Se lo spazio è non semplicemente connesso, puoi comunque farla franca con i circuiti differenziali più una torsione netta per ogni elemento di un gruppo elettrogeno del gruppo fondamentale . Il toro era ovviamente un semplice esempio di ciò.)

La forza proviene dalleffetto Aharonov – Bohm

Considera un campo scalare definito sullintero spazio (a differenza dei campi precedenti, questo assume un valore in ogni punto di ogni cerchio). Il campo è zero ovunque tranne che per due fasci stretti che divergono da un punto e riconvergono da qualche altra parte. (Forse vengono riflessi da specchi; forse lo spazio è curvo positivamente; non importa.)

A meno che il campo non sia costante attraverso i cerchi, il comportamento di interferenza dei raggi dipenderà dalla differenza nella torsione lungo i due sentieri. Questa differenza è solo lintegrale attorno al circuito chiuso formato dai percorsi.

Questo è leffetto (generalizzato) di Aharonov – Bohm. Se lo restringi a percorsi differentemente differenti e usi $ F _ {\ mu \ nu} $ per calcolare leffetto sullinterferenza, ottieni la legge della forza elettromagnetica.

Puoi scomporre il campo in componenti di Fourier. Lo spettro di Fourier è discreto nella piccola dimensione. Larmonica zero (costante) non è influenzata dalla torsione. La seconda armonica è influenzata il doppio della prima. Queste sono le cariche elettriche.

In realtà, per ragioni sconosciute, sembrano esistere solo alcune armoniche extra-dimensionali. Se esiste solo la prima armonica, esiste una descrizione equivalente del campo come una singola ampiezza complessa + fase in ogni punto delle grandi dimensioni. La fase è relativa a un punto zero locale arbitrario che viene utilizzato anche dal potenziale vettoriale. Quando si confronta la fase con la fase in un punto vicino e cè una torsione del potenziale vettoriale di $ \ mathrm d \ theta $ tra di loro, è necessario regolare il valore del campo di $ i \, \ mathrm d \ theta $ . Questa è lorigine della derivata covariante di gauge .

I cerchi si generalizzano ad altre forme

Se sostituisci la cerchi con 2 sfere, si ottiene una teoria $ \ mathrm {SU} (2) $ di gauge. È numericamente più cattiva: il gruppo di simmetria non è commutativo, quindi è necessario introdurre il meccanismo dellalgebra di Lie. Geometricamente, però, nulla molto è cambiato. La connettività è ancora descritta da una svolta netta attorno ai loop.

Una sfortunata differenza è che la descrizione della carica come armoniosi extra-dimensionali cs non funziona più. Le armoniche sferiche forniscono solo le rappresentazioni di spin intero, e tutte le particelle conosciute sono nelle rappresentazioni di spin-0 o spin-½ del modello standard $ \ mathrm {SU} (2) $, quindi le particelle che sono influenzate da $ \ mathrm {SU} (2) $ force non può essere descritto in questo modo. Potrebbe esserci un modo per aggirare questo problema con un tipo di campo più esotico.

Non ho niente di perspicace da dire sulla parte $ \ mathrm {SU} (3) $ del gruppo di misuratori del modello standard tranne per sottolineare che lintero gruppo di misuratori SM può essere incorporato in $ \ mathrm {Spin} (10) $ , e penso che sia più facile visualizzare una 9 sfere che una forma con $ \ mathrm {SU} (3) $ simmetria.

La relatività generale è simile

Nella relatività generale, il tensore di curvatura di Riemann è analogo al tensore di campo; rappresenta la rotazione angolare di un vettore trasportato attorno a un anello differenziale. Leffetto Aharonov-Bohm è analogo al deficit angolare attorno a una stringa cosmica . Teoria di Kaluza-Klein originariamente si riferiva a un modo specifico per ottenere lelettromagnetismo dalla relatività generale in cinque dimensioni; ora si riferisce spesso allidea generale che le forze di gauge del modello standard e la relatività generale siano probabilmente aspetti diversi della stessa cosa.

In Elettrodinamica Classica (CED) linvarianza di gauge significa indipendenza dei campi elettrico e magnetico da una particolare “scelta” dei potenziali $ \ varphi $ e $ \ bf {A} $. Lequazione per i potenziali dipende, ovviamente, dalla particolare scelta del “gauge”, e danno soluzioni differenti per differenti gauge.

In QM e QED linvarianza di gauge significa anche “invarianza” del forma di equazioni (le soluzioni sono ancora diverse, ma fisicamente equivalenti).

Ma si dovrebbe tenere Tieni presente che qualsiasi modifica utile della variabile è altrettanto accettabile se i risultati corrispondenti rimangono fisicamente gli stessi. Per questo la forma delle equazioni non dovrebbe essere obbligatoriamente “invariante”.