Che significato fisico ha il gruppo di Heisenberg?

Potresti voler vedere:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf capitolo 13,

ovvero le lezioni “Quantum Mechanics for Mathematicians: The Heisenberg group and the Schrodinger Representation “di Peter Woit, in cui il significato del gruppo di Heisenberg è discusso in dettaglio. Ma il suo significato fisico NON è come un gruppo di simmetrie della situazione fisica. Quindi fai attenzione alle strette analogie tra la relazione di commutazione canonica e il finito ( diciamo $ n $ ) gruppo di Hiesenberg Lie dimensionale $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . La cosa sulla destra della relazione $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ nellalgebra dimensionale finita $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ NON è la matrice identità – è semplicemente qualcosa che commuta con tutto il resto dellalgebra di Lie. Fu Hermann Weyl a sottolineare che la relazione di commutazione canonica non può riferirsi a unalgebra di Lie a dimensione finita: in tali algebre, una parentesi di Lie $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (tra matrici quadrate) ha traccia zero ma la matrice identità (o un multiplo scalare, come sul RHS del CCR) no. Si deve passare agli operatori su spazi di Hilbert infiniti dimensionali ( $ eg $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) per trovare la piena realizzazione della relazione di commutazione canonica.

Un altro modo per capire che il comportamento dellalgebra di Heisenberg Lie della matrice dimensionale finita è radicalmente diverso dal CCR è il principio di indeterminazione stesso. Il prodotto delle incertezze RMS per misurazioni simultanee da due osservabili non pendolari $ \ hat {a}, \ hat {b} $ dato uno stato quantistico $ \ psi $ è delimitato dal basso dal numero reale positivo $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ dove $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (vedere la sezione 10.5 delledizione 3 di Merzbacher “Quantum Mechanics”). Se $ c $ è una matrice quadrata finita e, come nellalgebra di Heisenberg, non è di rango di riga completo, ci sono alcuni stati (quelli in $ c $ “s nullspace) dove il prodotto dellincertezza può essere nulla. Quindi lalgebra della matrice a dimensione finita non può” modellare il postulato fisico di Heisenberg “.

Vedi anche larticolo di Wikipedia sul gruppo di Heisenberg.

Commenti

• Commento minore alla risposta (v2): il segno nella rappresentazione di Schroedinger visualizzata di $ p $ non è il segno convenzionale.