Vorrei imparare a calcolare il valore atteso di una variabile casuale continua. Sembra che il valore atteso sia $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$ dove $ f (x) $ è la funzione di densità di probabilità di $ X $.
Supponiamo che la funzione di densità di probabilità di $ X $ sia $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$ che è la densità della distribuzione normale standard.
Quindi, dovrei prima collegare il PDF e ottenere $$ E [X] = \ int_ { – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ quale è unequazione dallaspetto piuttosto disordinato. La costante $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ può essere spostata al di fuori dellintegrale, dando $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Rimango bloccato qui. Come si calcola lintegrale? Lo sto facendo correttamente fino ad ora? È il modo più semplice per ottenere il valore atteso?
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- il titolo della tua domanda è fuorviante. Stai infatti cercando di calcolare il valore atteso di una variabile casuale normale standard. Puoi anche calcolare il valore atteso di una funzione di un RV. Preferirei inserire il titolo: ” Come calcolare il valore atteso di una distribuzione normale standard. ” Oppure ” Come calcolare il valore previsto di una variabile casuale continua. ”
- @Gu ð mundurEinarsson corretto.
- ” Rimango bloccato qui. Come faccio a calcolare lintegrale? ” Trova la derivata di $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $. (No, non sono scherzoso e ti sto suggerendo inutili impegni; sono mortalmente serio; fallo e basta!). Quindi fissa molto attentamente il derivato che hai trovato.
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Sei quasi arrivato, segui il tuo ultimo passaggio:
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mid _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Oppure puoi usare direttamente il fatto che $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ è una funzione dispari e i limiti dellintegrale sono la simmetria.
Commenti
- Largomento simmetria funziona solo se entrambe le metà sono convergenti.
- Puoi spiegare cosa succede nella seconda riga?
- Il commento di Glen ‘ è corretto se non è convergente, il cambio di variabili non funzionerà
- La seconda riga è uguale alla prima riga poiché $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ nota anche il segno negativo allinizio. Quindi puoi pensare al cambio di variabile per lintegrazione, quindi cambiarlo di nuovo poiché i limiti non sono cambiati. Oppure puoi usare integra per parti. E ricorda $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- Per usare la simmetria per ottenere la media devi sapere che $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ converge – lo fa per questo caso, ma più in generale non puoi ‘ assumerlo. Ad esempio, largomento simmetria direbbe che la media dello standard Cauchy è 0, ma ‘ non ne ha uno.
Risposta
Dato che desideri apprendere metodi per calcolare le aspettative e desideri conoscere alcuni metodi semplici, ti divertirai a utilizzare funzione di generazione del momento (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
Il metodo funziona particolarmente bene quando la funzione di distribuzione o la sua densità sono dati come esponenziali stessi. In questo caso, non è necessario eseguire alcuna integrazione dopo aver osservato
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
perché, scrivendo la funzione di densità normale standard in $ x $ come $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (per una costante $ C $ di cui non sarà necessario conoscere il valore), questo ti permette di riscrivere il suo mgf come
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
Sul lato destro, seguendo $ e ^ {t ^ 2/2} $ term, riconoscerai lintegrale della probabilità totale di una distribuzione Normale con media $ t $ e varianza unitaria, che quindi è $ 1 $. Di conseguenza
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Poiché la densità Normale diventa piccola a valori grandi così rapidamente, non ci sono problemi di convergenza indipendentemente dal valore di $ t $. $ \ phi $ è riconoscibilmente analitico a $ 0 $, il che significa che è uguale alla sua serie MacLaurin
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ sinistra (t ^ 2/2 \ destra) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ sinistra (t ^ 2/2 \ destra) ^ k + \ cdots.$$
Tuttavia, poiché $ e ^ {tX} $ converge in modo assoluto per tutti i valori di $ tX $, possiamo anche scrivere
$$ E [e ^ {tX}] = E \ sinistra [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Due serie di potenze convergenti possono essere uguali solo se sono uguali termine per termine, da cui (confrontando i termini che coinvolgono $ t ^ {2k} = t ^ n $)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
implica
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(e tutte le aspettative di potenze dispari di $ X $ sono zero). Praticamente senza sforzo hai ottenuto le aspettative di tutti i poteri integrali positivi di $ X $ contemporaneamente.
Le variazioni di questa tecnica possono funzionare altrettanto bene in alcuni casi, come $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, a condizione che lintervallo di $ X $ sia adeguatamente limitato. Il mgf (e il suo parente stretto la funzione caratteristica $ E [e ^ {itX}] $) sono così generalmente utili, tuttavia, che li troverai indicati nelle tabelle delle proprietà distributive, come in la voce Wikipedia nella distribuzione normale .