Come calcolare laltezza di un reticolo hcp?

Proveremo usando le somiglianze tra hcp e ccp. Qui, sappiamo che $ hcp $ e $ ccp $ hanno un reticolo simile tranne per il fatto che $ hcp $ è di tipo ABAB mentre $ ccp $ è di tipo ABCABC. Quindi sappiamo anche che la loro frazione di imballaggio $ (\ phi) $ è la stessa e $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Ora, come hai detto, Volume di hcp reticolo $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Ci sono 6 atomi in totale in hcp. Quindi $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Semplificando si ottiene laltezza del reticolo hcp $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

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• Otteniamo che la loro frazione di imballaggio è uguale dopo aver valutato il volume dallaltezza, ecc. La tua risposta funziona allindietro.

Per calcolare laltezza di una cella unitaria, considera un vuoto tetraedrico in una disposizione di imballaggio chiusa esagonale. Può essere immaginato come un 3 sfere solide che si toccano e nel punto centrale hai unaltra sfera impilata su di esse. È possibile visualizzare una versione interattiva su questo sito . La situazione è simile a questa:

Se unisci i centri di queste quattro sfere, otterrai un tetraedro. Questa è fondamentalmente una piramide con una base triangolare. Suppongo che ogni bordo del nostro tetraedro sia uguale a $ a $.

Ora, hai una piramide ($ ABCD $), con una base equilatera ($ \ Delta BCD $), vorrei che cadessi una perpendicolare dal punto più alto ($ A $) al centro ($ G $) base triangolare. Se mi segui correttamente, avrai una figura come questa:

Tutto quello che dobbiamo ora è calcolare la lunghezza $ AG $. Per questo, usa semplicemente il teorema di Pitagora in $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Sebbene sappiamo che $ AD = a $, il lato $ GD $ rimane sconosciuto. Ma è facile da calcolare. Il punto $ G $ è il centroide di $ \ Delta BCD $. Pertanto, la lunghezza $ GD $ è uguale a $ a / \ sqrt {3} $. Inserendo i valori nella nostra prima equazione, otteniamo $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Ma nota, questa è metà laltezza della nostra cella unitaria. Pertanto, laltezza richiesta è $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

Nella struttura esagonale più compatta, $ a = b = 2r $ e $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , dove $ r $ è il raggio atomico dellatomo. I lati della cella unitaria sono perpendicolari alla base, quindi $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

Per una più vicina -packed, gli atomi agli angoli della base della cella unitaria sono in contatto, quindi $ a = b = 2 r $ . Laltezza ( $ c $ ) della cella unitaria, che è più difficile da calcolare, è $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Lascia che il bordo della base esagonale sia uguale a $ a $

E laltezza dellesagono sia uguale $ h $

E raggio della sfera uguale $ r $

La sfera centrale del primo strato si trova esattamente sopra il vuoto del secondo strato B.

La sfera centrale e le sfere del 2 ° strato B sono in contatto

Quindi, In $ \ Delta PQR $ ( un triangolo equilatero):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Draw $ QS $ tangente in punti

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Quindi, nel calcolo dellefficienza di impacchettamento di hcp arr angement, laltezza della cella dellunità viene considerata come $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

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