La mia domanda è come calcolare lerrore di tipo II $ \ beta $?
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Supponi di voler testare $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (devo calcolare lerrore di tipo II $ \ beta $, quindi devo correggere $ \ mu $, diciamo 1, in $ H_1 $).
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Supponiamo che la distribuzione di $ H_0 $ sia $ F_0 $, $ H_1 $ sia $ F_1 $, dove $ E [\ xi] = 0 $ if $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ se $ \ xi \ sim F_1 $.
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Ora creo uno stimatore per $ \ mu $, diciamo $ \ bar {X} _n $, e una statistica di test $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (supponiamo $ \ sigma $ è noto).
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Ora creo una regola di rifiuto ($ H_0 $): $ S_n > b $.
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Lerrore di tipo II viene calcolato come $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Le mie domande sono (voglio verificare tre cose):
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La logica di costruzione sopra è corretta, giusto?
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La distribuzione in “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” è $ F_1 $, giusto?
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[most care about] $ S_n $ in “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” dovrebbe usare $ F_0 $ per calcolare, giusto?
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Voglio dire, indipendentemente dagli errori di tipo I o II che sto calcolando, devo sempre usare $ F_0 $ per calcolare le statistiche del test, giusto?
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Voglio dire, $ S_n $ è sempre $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ nel calcolo degli errori di tipo I o II azione, ma non $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ nel calcolo di $ \ beta $, giusto?
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Oppure, questo non dovrebbe essere un problema, perché le statistiche dei test sono solo una funzione del campione e non dovrebbero coinvolgere i parametri?
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Commenti
- Lerrore di tipo II non è quello di rifiutare lipotesi nulla quando è falsa, ovvero $ H_1 $ è vera. Penso che dovresti usare $ F_1 $ per calcolare P ma non $ F_0 $ come hai scritto $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Puoi anche fare riferimento al calcolo della potenza basato sul parametro $ H_1 $ e sul tipo II $ \ beta $ = 1 potenza
- Grazie! Hai ragione. Ho fatto un errore. È $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ per lerrore di tipo II.
Risposta
Indica $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ $ la distribuzione sotto lipotesi nulla e $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ sotto $ H_1 $, quindi hai una statistica di test $ X $ e vuoi testare
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ contro $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Per come lo descrivi, vuoi eseguire un test unilaterale e definire la regione critica nella coda destra. Quindi, dopo aver scelto un livello di confidenza $ \ alpha $, utilizzerai la distribuzione $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ per trovare il valore del quantile $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ tale che $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (sto assumendo distribuzioni continue). Il superindice $ (0) $ indica che le probabilità sono misurate sotto $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, quindi è necessaria la distribuzione nulla $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ per definire la regione critica, cioè il quantile $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Da un campione puoi osservare un risultato $ x $ per la variabile casuale $ X $ e il valore nullo verrà rifiutato quando $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. In altre parole, il tuo test deciderà che $ H_1 \ textrm {ha deciso come vero} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
La potenza del tuo test è la probabilità che $ H_1 $ sia deciso come vero ogni volta che $ H_1 $ è vero , quindi la potenza è la probabilità che $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ ogni volta che $ H_1 $ è vero, questo è probabilità che $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ quando la vera distribuzione è $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ o la potenza $ \ mathcal {P} $ è
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Dove il superindice $ (1) $ indica che le probabilità sono calcolate sotto $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Quindi la potenza viene misurata con $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ ma è necessario il valore di $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ che viene calcolato con $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Ho usato la potenza $ \ mathcal {P} $ e lerrore di tipo II $ \ beta $ è $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
Nel tuo caso
Hai ragione quando dici che “” La distribuzione in “$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ “è $ F_1 $” “
Tuttavia, per trovare $ b $ dovrai usare $ F_0 $. Infatti, $ b $ è lanalogo di $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $