Supponiamo di avere hamiltoniano su $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ Sappiamo anche $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ e $ A ^ 2 = 0 $, lasciando $ W = A ^ {\ dagger} A $
Come possiamo esprimere $ H $ come $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Finora ho mostrato che se consideriamo gli autovalori di $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Implica che $ A | \ psi \ rangle $ e $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ sono anche autovettori di $ W $ con autovalore $ 1-w $. Usando $ A ^ 2 = 0 $ troviamo che $ w = 0 $ o $ 1 $
Non sono del tutto sicuro di come esprimere gli operatori come matrici, poiché la maggior parte dei il mio corso ha utilizzato la notazione della funzione donda, “mi piacerebbe molto se qualcuno potesse spiegare i prossimi passi qui solo per poterne avere una comprensione più rigorosa.
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- Puoi risolvere per A, dalle 2 equazioni che hai scritto? assumere numeri complessi generali a, b, c, d come valori di matrice di A. Sospetto che questo potrebbe funzionare.
Risposta
Come ha sottolineato @MichaelBrown nella risposta, per ottenere lelemento della matrice devi solo inserire loperatore tra due stati. Quindi, nel caso della tua Hamiltoniana $ H $, gli elementi della matrice sono dati come $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Dovrei sottolineare che $ i $ “s che usi dovrebbero essere il set di base in cui ti trovi. Se hai uno stato $ \ psi $, allora se $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ solo di quanto puoi esprimere gli elementi della matrice del tuo operatore in questo modo. Se inserisci loperatore tra lo stato stesso, finirai con laspettativa dello stato. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
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- Grazie per aver dedicato del tempo per rispondere, tuttavia, come ho detto a MichaelBrown, come posso applicarlo a questa situazione? Dove tutto quello che so sono due autovettori e il loro autovalori corrispondenti.
Risposta
Lelemento di matrice $ O_ {ij} $ di un operatore è definito da $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ ed è tradizionale che lindice $ i $ etichetta la riga e $ j $ la colonna. In questo modo la moltiplicazione di matrici funziona come te aspettarsi: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ che puoi mostrare inserendo un insieme completo di stati.
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- Grazie per la tua risposta, tuttavia come posso applicarla a questa situazione? Dove tutto quello che so sono due autovettori e i loro corrispondenti autovalori.