Come funziona la galleggiabilità?

Idea di base

Immagina nella tua mente un profondo oceano dacqua. Immagina una colonna dacqua, che dalla superficie scenda a una profondità di $ d $. Quella colonna dacqua ha un certo peso $ W $. Pertanto, su quella colonna dacqua cè una forza verso il basso di magnitudo $ W $. Tuttavia, sai che la colonna dacqua non sta accelerando, quindi deve esserci una forza ascendente di magnitudo $ W $ che spinge su quella colonna. Lunica cosa sotto la colonna è più acqua. Pertanto, lacqua alla profondità $ d $ deve spingere verso lalto con forza $ W $. Questa è lessenza della galleggiabilità. Ora facciamo i dettagli.

Dettagli

Il peso $ W $ di una colonna dacqua della sezione trasversale $ A $ e laltezza $ d $ è

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

dove $ \ rho _ {\ text {water}} $ è la densità dellacqua. Ciò significa che la pressione dellacqua alla profondità $ d $ è

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

Ora supponiamo di mettere un oggetto con area della sezione trasversale $ A $ e altezza $ h $ nellacqua. Ci sono tre forze su quelloggetto:

1. $ W $: Loggetto “s proprio peso.
2. $ F _ {\ text {above}} $: la forza dellacqua sopra loggetto.
3. $ F _ {\ text {below}} $: la forza dellacqua sotto loggetto.

Supponiamo che il fondo delloggetto si trovi alla profondità $ d $. Quindi la parte superiore delloggetto è alla profondità $ d-h $. Utilizzando i nostri risultati precedenti, abbiamo

$$ F _ {\ text {below}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {above}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Se loggetto è in equilibrio, è non accelera, quindi tutte le forze devono bilanciare:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {above}} & = & F _ {\ text {below}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h LA \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

dove nellultima riga abbiamo definito il volume delloggetto come $ V \ equiv h A $. Questo dice che la condizione per lequilibrio è che il peso delloggetto deve essere uguale al suo volume moltiplicato per la densità dellacqua. In altre parole, loggetto deve spostare una quantità di acqua che ha lo stesso peso delloggetto. la solita legge di galleggiabilità.

Da questa descrizione credo si possa estendere al caso dellaria invece che dellacqua e del gradiente di pressione orizzontale invece che verticale.

Penso che la pressione che agisce sulla superficie della cosa più leggera abbia qualcosa a che fare con essa, ma si tratta di esso.

Questo è in realtà linizio e la fine dellintera storia. Questo, in teoria, è tutto che devi sapere sulla galleggiabilità. Vediamo come si svolge questa affermazione e come conduce alle altre conoscenze che hai raccolto sulla galleggiabilità.

Immagina semplicemente un diagramma del corpo libero per il corpo fluttuante / immerso. Le uniche forze su di esso sono la pressione, ovunque normale alla superficie del corpo, e il peso del corpo.

La forza netta sul corpo dal fluido circostante è quindi:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

dove sommiamo le forze di pressione $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ che agiscono sugli elementi di area $ \ mathrm {d} S $ nella direzione dellunità normale $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ in funzione della posizione $ \ mathbf {r} $ sulla superficie dellinterfaccia $ S $ tra il fluido e il corpo. Questo è tutto quello che cè da fare. Naturalmente, è difficile vedere da solo (1) cosa accadrà a un corpo immerso nel fluido, quindi passiamo a risposte più pratiche.

Facciamo un piccolo trucco: si scopre che puoi sempre presumere per problemi di galleggiamento che la superficie $ S $ in (1) sia un confine chiuso di un volume (che “è anche quando hai a che fare con problemi come barche che, idealmente, sono non totalmente sommerso e il confine chiuso sembrerebbe a prima vista inapplicabile). Formiamo prima il prodotto interno di $ \ mathbf {F} $ con un vettore unitario arbitrario $ \ mathbf {\ hat {u}} $ e poi, data la superficie chiusa, possiamo applicare il teorema della divergenza a (1) per il volume $ V $ allinterno della superficie chiusa $ S = \ partial \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ partial V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

che, dato il vettore di unità $ \ mathbf {\ hat {u}} $ è arbitrario, significa:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

e dobbiamo immaginare il campo di pressione $ p (\ mathbf {r}) $ che sarebbe presente nel fluido allinterno della superficie se il fluido non fosse spostato dal corpo che occupa il volume $ V $. Da (2) possiamo vedere subito il secondo pezzo di kn Sapere di cui hai sentito parlare:

i palloncini ottengono il loro “senso di abbassamento” da una differenziale di pressione . [grassetto mio]

cioè, non cè nessuna forza di galleggiamento netta sul corpo a meno che la pressione $ p $ non vari da da un posto allaltro. Altrimenti, $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ è identicamente nulla.

Se non sei completamente a tuo agio con il teorema della divergenza, pensa e analizza un cubo sommerso. In un fluido in cui la pressione non varia con la posizione, la forza su ciascuna faccia è esattamente bilanciata dalla forza opposta sulla faccia opposta. Un altro caso che dà intuizione è una sfera in un fluido con una pressione costante ovunque: la forza su un punto qualsiasi è precisamente bilanciata dalla forza opposta sul punto antipodale. Largomento del teorema della divergenza ti consente semplicemente di inferire la generalità di conclusioni come questa che puoi fare per oggetti simmetrici.

Ora passiamo a un campo di pressione che ti sarà abituato come subacqueo; prendendo la $ \ mathbf {\ hat {z}} $ direzione verso il basso, il campo di pressione allinterno di un fluido immobile che giace sulla superficie di un pianeta di raggio molto maggiore delle profondità che dobbiamo considerare è:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

dove $ \ rho $ è la densità del fluido, $ g $ laccelerazione gravitazionale e $ p_0 $ la pressione a $ z = 0 $. Se lo inseriamo in (2) otteniamo:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

dove $ V_f $ è il volume del fluido spostato. Questo è, ovviamente, il principio di “Archimede”; vale per regioni di fluido sufficientemente piccole che la variazione di pressione è una funzione lineare della posizione. Anche se sembra che stia dicendo che “il fluido spostato respinge” come molte spiegazioni vaghe dello stato di galleggiamento, ma questa è una sciocchezza. Il fluido spostato non è nemmeno lì: il principio è semplicemente il risultato dellapplicazione di trucchi matematici per tradurre il principio fondamentale, che è incorporato nel tuo testo che ho citato nella prima riga di questa risposta e in (1) e il ” respinto fluido spostato “semplicemente un mnemonico per richiamare il principio.

Sono necessari due ulteriori commenti:

1. In primo luogo, nota che la risposta in (4) è indipendente da $ p_0 $, quindi, se il corpo non è “t interamente sommerso (come lo scafo di una barca funzionante), allora possiamo semplicemente considerare lintersezione del volume con il fluido come volume $ V $; lintersezione della superficie del fluido con il volume delimita quindi il volume ridotto e il contributo della forza sulla faccia superiore è quindi nulla (poiché possiamo impostare arbitrariamente $ p_0 = 0 $ senza modificare i nostri risultati).
2. In secondo luogo, ancora una volta, se non sei a tuo agio con il teorema della divergenza, fai lanalisi per un cubo con i suoi bordi verticali e orizzontali come esempio chiarificatore. Sebbene la forza di pressione vari attraverso le superfici verticali, le superfici di pressione su ciascuna faccia verticale sono ancora esattamente opposte da quelle sulla faccia opposta. La forza netta è la differenza tra la forza sulle facce inferiore e superiore del cubo, che, per (3), è la forza calcolata dal principio di Archimede.

Come subacqueo sai che la pressione aumenta quando vai più in profondità.

Immagina una bombola tenuta verticalmente sottacqua. La forza sulla parte superiore del cilindro è la pressione per larea (per definizione di pressione). Sul fondo del cilindro larea è la stessa ma la forza è maggiore (più profonda, più pressione). La differenza tra i due è la forza di galleggiamento.

Quando hai un oggetto di “qualsiasi” forma puoi pensare che sia fatto di infinitamente tanti cilindri sottili (cannucce con le estremità chiuse, se preferisci ). È ora possibile ripetere il calcolo per ciascuno di questi. Ciò dimostra che ciò vale anche quando loggetto ha una forma divertente.

Accade così che la differenza sia uguale al peso dellacqua spostata, ma quanto sopra è meno astratto, penso.

Ricorda sempre la tua sosta di sicurezza!

Commenti

• Grazie @floris! Sì, questo ha senso ora. Il problema che avevo era con laria, dove credevo che ci fosse un cambiamento di pressione così piccolo su un oggetto, che non poteva ‘ causare una spinta sufficiente. Ma quando penso invece alla massa che spinge in alto e alla massa che spinge in basso (come dici tu), mi sembra del tutto ragionevole. E, naturalmente, quella massa di spinta è ciò che è la ” pressione “, quindi anche la spiegazione del gradiente di pressione deve essere corretta. Grazie 🙂

Beh, lho sempre pensato come attrazione gravitazionale su un non -stato di equilibrio.

Prova a immaginare 2 palle diverse una sopra laltra che cadono dal cielo (nellatmosfera terrestre). Se la palla più leggera si trova sopra la palla più pesante, la palla più leggera si separerà dalla palla più pesante. Se la palla più pesante si trova sopra la palla più leggera, abbiamo 2 opzioni:

1. Stato di equilibrio – Significa che la palla più pesante è direttamente sopra la palla più leggera – Non ci saranno forze che accelerano la palla lateralmente, solo verso il basso. Le palle cadranno come una sola.
2. La palla più pesante è leggermente di lato rispetto alla palla più leggera (si toccano ancora). In questo caso la palla più pesante sarà rotola lateralmente rispetto alla palla più leggera e andrà sotto la palla più leggera (accelerando più velocemente).

Ora prova a immaginarlo con milioni di palline che cadono dal cielo. È logico per quelli più pesanti vanno sotto la luce altri, non è vero?

(Questa non è veramente una risposta “fisica”, è più di un semplice esempio del concetto di base)

Commenti

• Entrambe le palline vengono accelerate alla stessa velocità. Perché dovrebbero separarsi?
• Le forze di trascinamento rallenteranno la palla più leggera

La pressione nel suo senso più semplice è solo una forza che agisce su unarea. Immagina tutte le particelle nellaria della macchina. La pressione dellaria è in realtà una misura della forza media con cui queste particelle stanno spingendo luna contro laltra. Quando portiamo un palloncino di elio a galleggiare nellauto, le particelle daria spingono contro le particelle di elio e le particelle di elio respingono le particelle daria.

Entrare in un po di ingegneria statica qui; le forze degli atomi di elio spingono tutte le direzioni diverse, ma poiché sono tutte contenute dal palloncino e spingono tutte con la stessa quantità di forza, possiamo presumere che queste forze si annullino a vicenda, e le uniche forze che influenzano il palloncino come un tutto è esterno. A questo punto senza forze che agiscono su di esso, il palloncino potrebbe essere spinto liberamente in qualsiasi direzione senza praticamente alcuna forza. Laria non lo spinge da nessuna parte, tuttavia, perché anche laria sta spingendo il pallone da tutte le direzioni e quindi si cancella anche da sola.

Ora la forza è calcolata come accelerazione di massa * (a.k.a.un bowling alla testa ti colpirà più forte di una biglia che si muove alla stessa velocità perché ha più massa e quindi più forza). Laccelerazione a livello molecolare è direttamente proporzionale alla temperatura. Poiché la temperatura di tutti i gas nellauto è la stessa, possiamo annullarla e lunica cosa che influenza la forza con cui spingono le particelle è la massa delle particelle.

Tornare alla nostra auto : La gravità abbatte tutte le particelle nellauto con la stessa accelerazione costante, 9,8 m / s ^ 2. Le particelle daria vengono abbattute con una forza pari alla loro massa * 9,8 m / s ^ 2. Anche le particelle di elio vengono trascinate con la stessa accelerazione, ma poiché la loro massa è molto inferiore a quella dellossigeno, dellazoto e di altre particelle nellaria, la loro forza che scende è molto minore e vengono spinte indietro da più particelle daria forti. Questo è il motivo per cui il pallone galleggia.

Successivamente, lauto inizia a muoversi. Seguendo la legge di inerzia (su un oggetto a riposo tende a rimanere a riposo fino a quando non viene agito da una forza esterna), anche se lauto inizia ad avanzare, le particelle di gas rimangono al loro posto. Immagina una palla che fluttua sopra la tua dashboard che rimane in questa posizione assoluta indipendentemente da come ti muovi. Tirate un piede in avanti, e ora è sopra la console centrale. Un altro paio di piedi ed è sul sedile posteriore. Questo è esattamente ciò che accade a tutte le particelle di gas nellauto. Ora tutte le particelle si sono spostate sul retro del veicolo e ce ne sono molte meno nella parte anteriore. Poiché ora ci sono più particelle daria dietro il pallone che spingono contro di esso rispetto a dietro di esso, le forze non si annullano più a vicenda e il pallone viene spinto in avanti.

Si spera che questo aiuti a spiegarlo più chiaramente . Mi dispiace che sia stato piuttosto prolisso, fammi sapere se hai bisogno di qualcosa di spiegato meglio!

Commenti

• Un po di fisica traballante lì dentro … per esempio, un La palla da bowling colpisce più forte di una biglia che si muove alla stessa velocità perché trasporta più slancio, quindi fermarsi provoca un maggiore cambiamento di quantità di moto, il che significa che è stata applicata più forza se larresto di entrambi avviene nello stesso intervallo di tempo. Circa metà della risposta va bene, e in generale ‘ è più o meno corretta, ma manca di molti dettagli (importanti).
• Vero, ‘ è passato un po di tempo e ha cercato di semplificare il più possibile. Sentiti libero di modificare se necessario.