Come posso tracciare il grafico complesso di $ x ^ x $ in Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Ecco “una visualizzazione che mostra come inizia il grafico spirale per valori $ x $ negativi, se prendiamo in considerazione i valori complessi.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Infatti, se scriviamo $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, questo n aturalmente generallizza a $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; ogni $ 2i \ pi k $ rappresenta un altro ramo del logaritmo complesso. In questo contesto, vediamo che questo grafico forma solo una spirale di una famiglia di spirali.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

Nelle classi elementari, potresti vedere laffermazione che $ (p / q) ^ {p / q} $ è definito per $ p $ negativo e $ q $ dispari e positivo. Pertanto, includendo questi punti, il grafico potrebbe essere simile a questo:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Dalla prospettiva complessa, i punti si presentano come punti in cui uno dei fili a spirale perfora il piano $ x $ – $ z $.

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• Ho scelto yulinlinyu ' s come risposta perché ha risposto alla mia domanda in modo diretto e succinto, ma Mark Mcclure ' s la risposta va ben oltre – ed è il vero gioiello in questo thread!

Come ha indicato yulinyu fuori, qualcosa come il seguente ti darà la trama desiderata.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Potresti anche essere interessato a questa eccellente risposta di Simon Woods per creare un grafico della trama sul dominio complesso. Usare la sua funzione e valutare quanto segue ti dà una bella immagine

domainPlot[#^# &] 

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• Per un secondo ho pensato di aver fumato …. ma no
• Stai allenando i tuoi ipnopoteri?

Puoi utilizzare le nuove funzioni di M12 ReImPlot e ComplexPlot per visualizzazioni complesse di una funzione . Utilizzo di ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

e ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Anche

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

fa il lavoro nella versione 12.0.