Come può la velocità del suono aumentare con laumento della temperatura?

La velocità del suono è data da:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

dove $ P $ è il pressione e $ \ rho $ è la densità del gas. $ \ gamma $ è una costante chiamata indice adiabatico . Questa equazione è stata ideata per la prima volta da Newton e poi modificata da Laplace introducendo $ \ gamma $ .

Lequazione dovrebbe avere un senso intuitivo. La densità è una misura di quanto sia pesante il gas e le cose pesanti oscillano più lentamente. La pressione è una misura di quanto sia rigido il gas e le cose rigide oscillano più velocemente.

Consideriamo ora leffetto della temperatura. Quando “riscaldi il gas devi decidere se manterremo il volume costante e lasceremo che la pressione aumenti, o manterremo la pressione costante e lasceremo che il volume aumenti, o qualcosa nel mezzo. Consideriamo le possibilità.

Supponiamo di mantenere il volume costante, in in tal caso la pressione aumenterà mentre riscaldiamo il gas. Ciò significa che nellequazione (1) $ P $ aumenta mentre $ \ rho $ rimane costante, quindi la velocità del suono sale. La velocità del suono sta aumentando perché “stiamo effettivamente rendendo il gas più rigido.

Ora supponiamo di mantenere la pressione costante e di lasciare che il gas si espanda mentre viene riscaldato. Ciò significa che nellequazione (1) $ \ rho $ diminuisce mentre $ P $ rimane costante e di nuovo la velocità del suono aumenta. La velocità del suono sta aumentando perché “stiamo rendendo il gas più leggero in modo che oscilli più velocemente.

E se prendiamo una via intermedia e lasciamo che la pressione e il volume aumentino, $ P $ aumenta e $ \ rho $ diminuisce e di nuovo la velocità del suono aumenta.

Quindi qualunque cosa facciamo , aumentando la temperatura aumenta la velocità del suono, ma lo fa in modi diversi a seconda di come lasciamo che il gas si espanda mentre viene riscaldato.

Proprio come una nota a piè di pagina, un gas ideale obbedisce allequazione di stato:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

dove $ n $ è il numero di moli del gas. La densità (molare) $ \ rho $ è solo il numero di moli per unità di volume, $ \ rho = n / V $ , che significa $ n = \ rho V $ . Se sostituiamo $ n $ nellequazione (2) otteniamo:

$$ PV = \ rho VRT $$

che si riorganizza in:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Sostituiscilo nellequazione (1) e otteniamo:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

so:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

che è dove siamo entrati in gioco noi. Tuttavia in questa forma lequazione nasconde ciò che sta realmente accadendo, da qui la tua confusione.

Sperimentalmente, la costante di proporzionalità per lequazione precedente è di circa . 20.

Commenti

• Volevo solo farti sapere che la tua risposta sta ancora aiutando le persone 6 anni dopo … I ‘ hai trascorso circa unora cercando di trovare una spiegazione intuitiva a questa formula e tu ‘ hai riassunto tutto molto bene in alcune frasi 🙂

Ottima domanda. La risposta breve è che la tua intuizione (riguardo a cose dense che hanno velocità del suono più elevate) è probabilmente influenzata da materiali diversi alla stessa temperatura ed è contaminata dai solidi, quando il problema qui riguarda davvero i gas, che sono diversi.

Esaminiamo alcuni dati:

Laria è scarsa e ha una bassa velocità del suono di 760 mph. Le cose più pesanti come il rame sono dense e hanno una velocità del suono maggiore.Lacciaio ha una velocità del suono di 10.000 mph !

Quindi il tuo intuito non è poi così male, vero?

Che dire dellaria fredda e dellaria calda? Laria fredda è più densa, ma ha una velocità del suono inferiore! Qui è dove possiamo vedere il tuo adorabile paradosso.

Si scopre che la repulsione dovuta alle onde di compressione esterne (quelle che hai chiamato onde meccaniche) in un solido come un metallo sono create da meccanismi diversi rispetto a un gas comprimibile. Unonda di pressione in un solido comprimerà ioni relativamente stazionari in un reticolo. Il reticolo è molto forte e gli atomi non si muovono, ma possono vibrare. Se stringete un po di acciaio, state comprimendo un po questo reticolo, ma la dipendenza funzionale dei campi elettrici in questo reticolo è piuttosto complessa. alla domanda qui, un risultato si spera ovvio è che la dipendenza dalla temperatura non sarà troppo forte, poiché la funzione forza (distanza) determina la velocità con cui un disturbo viaggia attraverso il reticolo e lenergia che si dà agli atomi nel reticolo ha vinto “In questo caso cambia molto la relazione reticolo-distanza-curva di forza.

Un gas è una bestia molto diversa in quanto ci sono solo un mucchio di particelle indipendenti che volano intorno. Qui, la velocità del suono è , fondamentalmente, una media ponderata delle molecole di gas più veloci che ovviamente si muovono con la radice quadrata dellenergia / temperatura.

Rispetto a un solido, la domanda su quale sia la velocità del suono in un gas è del tutto banale. Leggi th è o questo o per avere unidea di quanto siano più complessi i solidi. Se fornissi ai fisici solo le proprietà atomiche (non cose come il modulo di massa) di un solido come il rame e anche di un gas come O $ _ \ rm 2 $, sarebbero solo in grado di calcolare, almeno con un semplice calcolatore, la velocità del suono in O $ _ \ rm 2 $.

Un modo rapido per correggere la tua intuizione è annotare la velocità del suono in un solido allo zero assoluto rispetto a un gas. Solo questultimo è zero. In effetti, questo è il motivo per cui i gas non possono esistere vicino allo zero assoluto. Le molecole in un gas abbastanza freddo non hanno nemmeno abbastanza energia per allontanarsi luna dallaltra, quindi devono essere invece un liquido o un solido.

Si spera che ora tu veda che le tue esperienze passate si applicano davvero solo per materiali diversi, non per singoli materiali in funzione della temperatura.

Le onde sonore si propagano attraverso un mezzo come risultato di collisioni tra molecole. A temperature più elevate, le molecole hanno una maggiore energia cinetica e, poiché si muovono più velocemente, le loro collisioni avvengono a una frequenza maggiore e trasportano le onde sonore più velocemente. Maggiore energia cinetica = minore inerzia = maggiore velocità.

Tuttavia, poiché le onde sonore sono onde di compressione che viaggiano attraverso un mezzo comprimibile, la loro velocità dipende non solo dallinerzia del mezzo, ma anche dalla sua elasticità.

In generale, più le molecole sono vicine, più velocemente saranno trasportano onde sonore Sebbene la distanza tra le molecole tende ad aumentare quando un mezzo è riscaldato, questo è relativamente meno importante per la velocità del suono allinterno di un dato mezzo rispetto al movimento più veloce delle molecole.

La temperatura più alta. implica una maggiore velocità per la molecola, quindi si scontra con la molecola successiva in un tempo più veloce anche se sono lontane da ciascuna. daltra parte, la temperatura inferiore. significa minore velocità e quindi può anche entrare in collisione con il suo vicino più vicino in un tempo più lungo. merci!

Sappiamo che la temperatura e lenergia cinetica sono direttamente proporzionali. Quando la temperatura aumenta, lenergia cinetica delle molecole daria aumenta e le molecole si muovono più rapidamente. A causa della quale la propagazione del suono viene eseguita rapidamente, aumentando la velocità.