Come studenti di matematica per tutta la vita, riteniamo che la risoluzione dei problemi sia assolutamente essenziale per migliorare la nostra comprensione della materia. Insegnare agli altri ciò che sappiamo serve a rafforzare la nostra conoscenza esistente e a diffondere le informazioni agli studenti.
Tuttavia, come si creano problemi “buoni”?
Con “buono” intendo problemi che stimolano e stimolano la riflessione con soluzioni estensibili ad altri domini. Inoltre, questo aumenta fino al livello dei problemi delle olimpiadi, per i quali gli autori di problemi sembrano avere un notevole grado di ingegnosità e creatività nellideare nuovi problemi.
Commenti
- Temo che questa domanda sia troppo ampia. Non ‘ intendo dire che non possiamo ‘ decidere cosa ” ” significa, in termini di problema matematico. Ma, piuttosto, quella definizione dipende troppo fortemente da (i) per chi è progettato il problema e (ii) che tipo di contenuti / tecniche matematiche dovrebbero usare. Vale a dire, un ” buon ” problema per un bambino di sesta elementare è molto diverso da un ” buon ” problema per mostrare a uno studente di economia come il calcolo è utile nella sua disciplina.
- Sono daccordo che sarebbe meglio avere questo limitato a un singolo argomento di matematica, ad esempio come creare buoni problemi di topologia.
- Alcuni dei miei insegnanti avevano unabilità imbattibile nello scrivere compiti / esami in cui hai imparato molto facendo i problemi. Altri davano solo problemi noiosi. I primi erano generalmente molto più impegnativi nel complesso, anche se non ” più difficile ” in alcun senso. Se esamini i problemi proposti nei libri di testo, ‘ vedrai lo stesso. ‘ temo che questo sia in larga misura un talento difficile da trasmettere.
- Uno dei maggiori problemi che ho riscontrato nella prima educazione era che non cera contesto dato per il problema che stavamo risolvendo. Metterli nel contesto potrebbe aiutare un po . Ad esempio, si consideri la fattorizzazione di un polinomio. Se lo metti nel contesto dellottimizzazione nel calcolo (risolvendo per gli zeri di una derivata) il suo utilizzo diventa evidente. Utilizzare la parola problemi presentata in materiali più avanzati, quindi chiedere loro solo di risolvere la parte che è stata insegnata (nellesempio sopra, facendoli fattorizzare una derivata precalcolata) è una strategia valida per presentare i problemi in un contesto corretto.
Risposta
Dato che la tua domanda è molto ampia, ecco una risposta piuttosto generica: Leggi informazioni sui problemi di posa. p>
Tre elementi chiave sono:
Silver, EA (1994). Sulla Posa Matematica Del Problema. Per lapprendimento della matematica, 14 (1), 19-28.
e il libro
Brown, SI, & Walter, MI (2005). Larte di porre problemi . Psychology Press.
Questultima è una ristampa di un libro uscito per la prima volta nel 1983. Puoi anche trovare un libro correlato edito da Brown e Walter; una citazione per la versione più recente è:
Brown, SI, & Walter, MI (Eds. ). (2014). Posa del problema: riflessioni e applicazioni . Psychology Press.
Inizia con questi tre documenti, i loro riferimenti e (cercando su Google Scholar) altri documenti e articoli che li citano.
Per abbozzare in modo molto approssimativo il suggerimento di Brown e Walter: inizia con uno scenario matematico, elenca i presupposti, varia i vincoli (nei loro termini: ” What-if- not-ing “) e poi fare domande. Puoi anche ” ciclo ” attraverso questo processo ripetutamente al fine di produrre problemi di complessità crescente.
Ovviamente, il problema della posa comporta il pericolo di non conoscere la risposta a ciò che stai chiedendo.
Ad esempio , il tuo scenario di partenza potrebbe utilizzare il teorema di Pitagora:
Trova tutte le soluzioni intere per $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Questo particolare esempio è esplorato nel libro di Brown e Walter, ma mi sembra che sia ragionevole elencare che lesponente ovunque è $ 2 $ e di chiedere soluzioni intere quando lesponente è $ 3 $ .. .. oppure, se ci si sente particolarmente audaci, generalizzare e chiedere lesponente $ k \ geq 3 $ .
A prima vista, questa potrebbe sembrare una domanda ragionevole; ma, se hai familiarità con lultimo teorema di Fermat, ti renderai conto che questo non è un problema appropriato per la maggior parte degli studenti.
Puoi trovare alcune delle mie brevi osservazioni sul problema di posa e sulla creatività in parte $ 4b $ qui e un paio di altri esempi relativi alla posa di problemi e allintuizione nel esempio concreto sezione qui .
Unultima osservazione: Inizi citando l ” essenziale ” ruolo del problema solving nel migliorare la nostra comprensione della matematica. Può valere la pena notare che il problema porre gioca un ruolo importante si consideri lelenco delle euristiche di Polya e quante di esse sono domande: quale “è un problema correlato? Quale” è un problema più semplice? Come posso generalizzare questo problema? Ecc. (Storicamente, sia Silver, nel primo pezzo sopra citato, sia Kilpatrick, sulla formulazione del problema , rintracciano questa osservazione, vale a dire che la posa del problema è parte integrante del problem solving, almeno di nuovo a un articolo del 1945 di Karl Duncker.)
Come scrisse Cantor (1867) nella sua tesi di dottorato:
“In re matematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi “
(” In matematica larte di porre domande è più preziosa che risolvere problemi “).
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- Mentre io ‘ sono un fan di P ó lya ‘ s libro, temo che si presume che ti vengano forniti tutti i dati necessari e solo i dati necessari, troppo integrati . ” I problemi del mondo reale ” consistono in gran parte nello scoprire cosa è rilevante e cosa non lo è ‘ t e la raccolta di missin g data.
- @vonbrand Oltre a guardare alcuni dei libri successivi di Polya ‘ (post- Come risolverlo ) I ‘ d suggerisce, per problemi ” del mondo reale “, indagare sulla letteratura sulla modellazione matematica. Lintersezione tra modellazione matematica e educazione matematica può ancora essere pettinata abbastanza completamente; inizia con il lavoro di Pollak ‘ (pertinente: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) e sposta alle sue citazioni …
Risposta
Per me ci sono forse tre tipi principali di problemi che io assegnare:
- Sviluppo di abilità di routine : entrambi sono modellati su un calcolo che ho mostrato problemi simili risolti, o, sono un problema di prova che è solo una conseguenza naturale della definizione con poca tecnica aggiuntiva richiesta. Per un corso di prova, molti problemi sono poco più che un invito a preoccuparsi del significato effettivo della notazione.
- Ampiezza di scoperta : in ogni corso ci sono alcuni argomenti per i quali non abbiamo abbastanza tempo in lezione. È unesperienza molto gratificante per gli studenti essere guidati attraverso un breve modulo di problemi in cui scoprono le caratteristiche essenziali di un argomento che non è trattato in modo approfondito dalla lezione e da altri materiali.
- Sfida : qui non ci sono binari, nessuna scatola, nessuna aspettativa che qualcuno nel corso lo risolva. A volte questi sono usati per mostrare i limiti di una famiglia attuale di tecniche per risolvere problemi, a volte questi implicano qualche intuizione confusa che guida un salto creativo.
Sospetto che la maggior parte dei problemi che scrivo e / o si inseriscono in 1 o 2, ma gli studenti spesso mi accusano di 3. Onestamente, uno dei motivi per cui cerco di navigare abbastanza in MSE è valutare cosa è coperto nei miei corsi presso altre università. Inoltre, il sapore internazionale del MSE mi aiuta a ottenere uno spaccato di ciò che sta accadendo nelle scuole di tutto il mondo.
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- Stai tralasciando la domanda trabocchetto preferita di tutti i tempi, in cui devi inventare una svolta rubé-goldbergiana per avere speranza di risolvere il problema. Molti qui sono accusati di aver commesso enigmi, non esami …
- @vonbrand beh, probabilmente sarebbe una sfida. Spesso questi problemi iniziano con una risposta, si verifica qualche magia oscura che coinvolge serie e poi allo studente viene chiesto di vedere uno schema … ah ah ah … male.
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Due suggerimenti:
1) Partecipa a workshop e conferenze e cerca sessioni di problem solving o relatori che condividono i loro “problemi preferiti.”Quando i problemi e le soluzioni vengono discussi, compaiono metodi e approcci unici.
2) Costruisci una biblioteca e dedica il tempo alla lettura. Raccogli libri, pdf e fonti. Un libro di testo non adatto agli studenti può essere un ottimo fonte di problemi. (Usa Amazon e eBay per ottenere versioni usate che sono molto più economiche.) Modifica la versione del libro di testo secondo necessità. La creatività nella creazione di problemi deriva dallo sfogliare le fonti.
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- Dai unocchiata ai siti delle Olimpiadi di matematica. Cerca appunti, esami (risolti), compiti a casa, … la ‘ rete pullula di quel tipo di cose.
Risposta
Non hai specificato un livello specifico, ma penso che la tua domanda abbia valore in ogni caso. Lo prenderò a livello K-8. Per prima cosa voglio affrontare la tua esigenza specifica:
Con “buono” intendo problemi stimolanti e stimolanti con soluzioni estensibili ad altri domini.
Interpreterò “stimolante” nel senso che gli studenti avranno una motivazione per impegnarsi nella matematica del problema. Per “stimolare la riflessione” presumo che intendi dire che i problemi hanno unalta probabilità di richiedere agli studenti di impegnarsi in un ragionamento matematico produttivo. Queste sono caratteristiche essenziali di buone indagini in un curriculum. Vale a dire, un buon programma di studi dovrebbe contenere attività e indagini che soddisfino questi requisiti.
Una volta ho chiesto a un noto sviluppatore di programmi di alta qualità come faceva a sapere che i suoi problemi con il programma di studi soddisfacevano i requisiti di “ educazione matematica realistica “(che era lapproccio che ha ispirato il suo curriculum. Ha risposto che dovevano provare ogni attività con studenti reali molte volte nel processo di ricerca e sviluppo. Mentre le prime bozze potrebbero essere basate sulla teoria, in realtà il curriculum finito è stato pesantemente testato.
Pertanto, trova e raccogli i problemi sviluppati da bravi progettisti di curriculum. Se necessario, crea la tua libreria di tali problemi.
Unultima nota: hai suggerito di volere problemi le cui soluzioni fossero estensibili ad altri domini. Ti suggerisco di fare attenzione con questo tipo di presupposti nella ricerca dei problemi. Cosa vengono a capire nel processo di posa del problema e risolvere può aiutarli a formare conn zioni tra contesti. Tuttavia, potresti trovare difficile supportare la nozione di “soluzioni trasferibili di dominio” nella buona letteratura sullinsegnamento della matematica. Concentrati maggiormente sul tipo di ragionamento matematico in cui gli studenti avranno lopportunità e le risorse per impegnarsi.