Se il PDF normale standard è $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
e il CDF è $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
come si trasforma in una funzione di errore di $ z $?
Commenti
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Lho visto, ma inizia con ERF già definito.
- Bene, cè ' una definizione di ERF e una definizione di CDF Normale .. Le relazioni, derivabili da alcuni calcoli di routine, sono mostrate come a come convertire tra di loro e come convertire tra i loro inversi.
- Mi dispiace, non ' vedo molti dettagli. Ad esempio, il CDF è compreso tra -Inf e x. Allora come fa lERF a passare da 0 a x?
- Hai familiarità con la tecnica di calcolo del cambio di variabile? In caso contrario, impara come farlo.
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Perché questo accade spesso in alcuni sistemi (per Ad esempio, Mathematica insiste nellesprimere il CDF normale in termini di $ \ text {Erf} $), è bene avere un thread come questo che documenta la relazione.
Per definizione, la funzione di errore è
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Scrivere $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ implica $ t = z / \ sqrt {2} $ (perché $ t $ non è negativo), da cui $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Gli endpoint $ t = 0 $ e $ t = x $ diventa $ z = 0 $ e $ z = x \ sqrt {2} $. Per convertire lintegrale risultante in qualcosa che assomigli a una funzione di distribuzione cumulativa (CDF), deve essere espresso in termini di integrali che hanno limiti inferiori di $ – \ infty $, quindi:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Questi integrali sulla dimensione della mano destra sono entrambi valori del CDF della distribuzione normale standard,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Nello specifico,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Questo mostra come esprimere la funzione di errore in termini di CDF normale. La manipolazione algebrica di ciò fornisce facilmente la CDF normale in termini di funzione di errore:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Questa relazione (per i numeri reali, comunque) è mostrata nei grafici delle due funzioni. I grafici sono curve identiche. Le coordinate della funzione di errore a sinistra vengono convertite nelle coordinate di $ \ Phi $ a destra moltiplicando le coordinate $ x $ per $ \ sqrt {2} $, aggiungendo $ 1 $ alle coordinate $ y $, quindi dividendo le coordinate $ y $ per $ 2 $, riflettendo la relazione
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
in cui la notazione mostra esplicitamente queste tre operazioni di moltiplicazione, addizione e divisione.
Commenti
- Penso $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ è il corretto modo di metterli in relazione, considerando la media e la deviazione standard.