Confusione riguardo al calcolo del periodo fondamentale?

Le funzioni trigonometriche sono essenzialmente esponenziali. Quindi, un raddoppio dellargomento corrisponde a una quadratura della funzione (in un certo senso). In questo caso, può essere visto applicando la formula delladdizione degli angoli:

$$ \ begin {align} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {align} $$

Making

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Applicandolo al tuo equazione:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Da questo è abbastanza chiaro che il periodo fondamentale è 0,25 in quanto ciò rende $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Su richiesta:

$$ \ begin {align} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {align} $$

Dovresti essere in grado di capire da lì. Nota, il caso squadrato avrebbe potuto essere gestito allo stesso modo.

Uso ampiamente questa tecnica per queste formule:

• Formule di frequenza quasi istantanea esatte Best at Peaks (Part 1)
• Formule di frequenza quasi istantanea esatte Best at Peaks (Part 2)
• Formule di frequenza quasi istantanea esatte Migliori ai passaggi per lo zero

Commenti

• Si prega gentilmente aggiorna la seconda ultima riga della tua risposta. È il periodo fondamentale che è 0,25 non la frequenza fondamentale
• @Man Done, good catch. Mi dispiace per questo.
• Ti preghiamo gentilmente di aggiornare leggermente la tua risposta per soddisfare la necessità di una domanda aggiornata
• @Man Smetti di spostare i pali della porta. n = 3,4,5 … può essere calcolato secondo lo schema. il risultato finale è $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ che è uguale a $ T = 1 / (2n) $

Questo sembra più un problema di semantica.

Un segnale è periodico con il tempo $ T $ if

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Quindi il segnale è periodico in $ 0,5 $ poiché per $ T = 0,5 \ cdot n $ largomento del coseno è un multiplo intero di $ 2 \ pi $ . Poiché è periodico in $ 0,5 $ , è anche periodico in tutti i multipli interi di $ 0,5 $ , cioè $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ ecc.

In questo caso è anche periodico in $ 0,25 $ poiché $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0.5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Quindi ogni segnale periodico ha un numero infinito di periodi, quello fondamentale è il più piccolo e tutti gli altri sono multipli interi della fondamentale.

Se aiuta, genera unonda sinusoidale di ampiezza unitaria a 1 Hz e il suo quadrato:

Quindi londa sinusoidale e il suo quadrato hanno questo aspetto:

Puoi vedere la componente CC: il valore medio dellonda sinusoidale quadrata (mediato su un numero intero di periodi) è 1/2. E la frequenza dellonda sinusoidale rossa è esattamente raddoppiata, quindi il periodo è dimezzato. La CC e la frequenza doppia sono le “frequenze di battimento” ottenute moltiplicando per se stessa londa sinusoidale.

Commenti

• quale software stai utilizzando?
• Sto utilizzando un programma di simulazione commerciale denominato Extend (versione precedente) e ExtendSim (versioni più recenti), da Imagine That, Inc. Questi sono aumentati con quattro librerie di blocchi che ho iniziato a sviluppare nel 1990. Le mie librerie, denominate LightStone, sono disponibili gratuitamente, con codice sorgente completamente commentato. LURL delle mie librerie è umass.box.com/v/LightStone . Aggiornerò le librerie entro la fine della settimana in modo che funzionino con lultima versione di ExtendSim 10.0.6 (dovrebbe essere solo una ricompilazione). Il modello sopra è stato realizzato con Extend 6.0.8 su un vecchio Mac (mi piace come appare).
• Grazie, ' lo verificherò: )