Ecco “una domanda di probabilità (probabilmente molto semplice) che non sono sicuro di come risolvere:
Gamma distribuzione $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ con $ \ mu = 20 $ e $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
La domanda precedente era trovare i valori di $ \ alpha $ e $ \ beta $, cosa che ho fatto usando $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ e $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alpha $$ \ beta ^ 2 $.
Per la distribuzione gamma cdf, il mio libro di testo dice $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ dove $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ è la distribuzione gamma standard cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Per integrarlo, sembra che debba usare la regola della catena, ma il nostro professore non lha mai fatto un esempio. Esiste un metodo di scelta rapida? Non abbiamo mai utilizzato lintegrazione in un esempio reale, solo per definire il pdf e ottenere il cdf per le diverse distribuzioni.
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Gli esempi nel mio un libro di testo che coinvolge problemi di distribuzione gamma standard dice di cercare i valori per $ F (x; \ alpha) $ nella Tabella A.4 dellappendice. Quando ho guardato, mancava la Tabella A.4, il che mi delude davvero. tabelle di distribuzione gamma standard online che posso stampare e consegnare con il compito? Ho controllato Wolfram Alpha ma non ne avevano uno. Casio ha qualcosa , ma non sono sicuro di quali siano i parametri di forma e scala.
Modifica 2
Ho trovato quella tabella. Nella parte anteriore del libro, la Tabella A.5 veniva subito dopo A.3, motivo per cui pensavo che A.4 mancasse. Sono andato in biblioteca per vedere se Avevano lo stesso libro di testo, lo avevano, e qualcuno aveva il buon senso (che io non avevo) di guardare in fondo al libro, ed eccolo lì. Non è necessario ulteriore aiuto.
Commenti
- Devi eseguire lintegrazione per parti ripetutamente che inizia con $ u = y ^ {\ alpha-1} $ e $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ e $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Ogni volta che lo fai, otterrai un integrale con un esponente più piccolo per $ y $. Se $ \ alpha $ è un numero intero, sarai in grado di completare il processo. Se $ \ alpha $ non è un numero intero, le cose sono più complicate.
- @dilip dovresti pubblicare il tuo commento come risposta.
- @DilipSarwate, non esiste una soluzione in forma chiusa per $ \ alpha $ non intero, questo cdf è quindi la funzione gamma incompleta .
- E dubito fortemente che lo scopo fosse lintegrazione parziale dellesercizio.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4”%2C+24”
Risposta
Come suggerito da probabilitÃ, il mio commento viene convertito in una risposta.
Devi integrare per parti ripetutamente iniziando con $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $ e utilizzando $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Dato che $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, ogni volta che fai unintegrazione per parti, tu otterrà un integrale con una e più piccola xponent per $ y $ sul lato destro. Se $ \ alpha $ è un numero intero (come in questo caso particolare), sarai in grado di terminare il processo con $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Se $ \ alpha $ non è un numero intero, le cose sono più complicate perché non esiste unespressione generale in forma chiusa per $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ dove $ 0 < \ gamma < 1 $. Come notato da Xi “an, il cdf è la funzione gamma incompleta e i suoi valori numerici sono stati tabulati.
Se lintegrazione per parti non è il punto di questo esercizio come suggerito nel commento di Elvis, potresti voler controllare se il tuo professore vuole che tu pensi al valore di una variabile casuale gamma come un tempo di arrivo in un processo casuale di Poisson e risolva il problema da quel punto di vista.
Commenti
- Esiste una tabella online per vari valori di x e alpha? Il mio libro di testo ha solo tabelle per curve normali standard e distribuzioni t. Ho provato a cercarne una ma ho trovato troppe tabelle chi-quadrato
- Non ' non conosco una tabella online, ma MATLAB calcolerà i valori per te e suppongo che R o Mathematica o Wolfram Alpha o Maple o … ecc. farebbero lo stesso.