Per quanto ho capito, lenergia di legame gravitazionale di una certa distribuzione di massa è il negativo della sua energia di auto-potenziale gravitazionale.
Ho provato a calcolare questultimo per una sfera solida di raggio $ R $, massa $ M $ e densità uniforme.
Per il teorema della shell (o legge di gravitazione di Gauss), lintensità del campo a una distanza $ r $ dal centro della sfera è data da
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
dove $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ è la massa racchiusa in una sfera di raggio $ r $.
Il potenziometro gravitazionale a la distanza $ r $ creata da questa distribuzione è quindi
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Lenergia del potenziel auto gravitazionale è la somma delle energie del potenziello gravitazionale $ U \ cdot dm $ su tutti gli elementi di massa $ dm $ nella distribuzione.
Procediamo per integrazione della shell. La massa contenuta nel guscio del raggio interno $ r $, raggio esterno $ r + dr $ è semplicemente
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Lenergia auto-potenziale del la sfera è quindi
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
che è esattamente la metà della risposta corretta.
Ho controllato più volte il mio lavoro per errori semplici ma non riesco a individuare la fonte del fattore di errore di $ 2 $. Questo mi porta a credere che ci sia qualcosa di fondamentalmente sbagliato con il modo in cui ho calcolato lenergia.
Dovè il problema?
Commenti
- Nel tuo MathJax tu ' stai usando \ big per parentesi grandi, il che ' non funziona. Usa invece \ left e \ right corrispondenti. \ Big è size, mentre \ left e \ right si ridimensionano automaticamente alla dimensione necessaria per il contenuto racchiuso tra parentesi.
Risposta
Il problema è il modo in cui stai formando i tuoi gusci — se provengono dallinterno o dallesterno dei gusci precedenti. Per energia vincolante, questo significa la quantità di energia necessaria per rimuovere in sequenza ogni successivo guscio allinfinito. Quindi, il potenziale deve essere calcolato rispetto allinfinito, non lorigine; la tua espressione di potenziale suggerirebbe che ogni guscio inizia allorigine e si espande attraverso la massa esistente fino a un raggio $ r $, piuttosto che unirsi attorno a un nucleo già esistente dallesterno. Quindi, calcola il potenziale come
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Questo dovrebbe risolvere il fattore due.
Terminologia a parte, penso che possiamo essere daccordo sul concetto di quale sia la grandezza dei mezzi di energia, quindi positivo o negativo non ha un impatto enorme. Per avere unidea dellintegrale sopra, immaginiamo una singola particella che viene attratta dalla gravitazione della palla in formazione (con raggio $ r $), piuttosto che un guscio. Quando la particella entra dallinfinito, il potenziale che percepirà sarà il solito potenziale gravitazionale newtoniano, fino a quando non toccherà la superficie della palla. Ora, ogni pezzetto di anche la massa $ dm $ di un guscio che viene aggiunto percepirà lo stesso potenziale; possiamo pensare al guscio come a molte piccole particelle che arrivano da tutte le direzioni contemporaneamente. Ogni volta che aggiungiamo un guscio in questo modo, $ r \ rightarrow r + dr $, quindi $ M_ {enc} $ aumenta di conseguenza, cosa che consideriamo nellintegrale oltre $ r $. Questo è in contrasto con lintegrale con i limiti $ [0, R] $ nella domanda, perché un tale integrale è più simile alla quantità di energia necessaria per “gonfiare” i gusci di massa verso lesterno dallorigine. Un tale processo richiederebbe che la palla sia totalmente permeabile mentre i gusci si gonfiano in superficie, ma se così fosse, lintera palla collasserebbe immediatamente di nuovo su se stessa a causa della sua mancanza di rigidità.
Commenti
- Ok. Per prima cosa in realtà non ' so quale energia di legame gravitazionale. So solo cosè lenergia potenziale personale. Lenergia auto-potenziale di un sistema di massa $ m_1, … m_N $ è la somma di $ U_ {i, j} $ su tutte le coppie $ (i, j) $ con $ i < j $ dove $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ è la distanza tra le masse $ m_i $ e $ m_j $. Questo è ciò che ho cercato di calcolare.
- Secondo, il tuo integrale ' non ha senso per me. $ M_ {enc} (r) $ dovrebbe essere sostituito da $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh ha ragione: hai preso la definizione sbagliata di energia di legame. Consulta questo articolo di Wikipedia per il calcolo completo: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: In effetti, ciò che ho calcolato è lenergia del potenziometro auto gravitazionale, che è solo il negativo dellenergia di legame. Ho descritto sopra lenergia potenziale personale, cioè semplicemente lenergia della distribuzione di massa dovuta al proprio campo gravitazionale.
- Ho aggiunto chiarimenti nella risposta, poiché non sarebbe ' t sta qui nei commenti. La differenza essenziale nelle nostre due quantità è la quantità di energia coinvolta nella rimozione di tutti i pezzi di massa infinitamente lontani luno dallaltro rispetto alla quantità di energia richiesta per evitare che la palla collassi su se stessa. La prima è lenergia di legame gravitazionale (dovuta allauto-potenziale) e la seconda è più una misura della rigidità minima della materia coinvolta.
Risposta
Ci sono problemi con il modo in cui stai calcolando il potenziale e con come stai calcolando lenergia di legame gravitazionale.
Il campo gravitazionale allinterno della sfera è radialmente verso linterno e di grandezza $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Il campo gravitazionale esterno alla sfera è radialmente verso linterno e di magnitudine $ GM / r ^ 2 $.
Il potenziale gravitazionale è il lavoro svolto per unità di massa portando quella massa dallinfinito a $ r $.
Il potenziale in un raggio $ r $ allinterno della sfera è $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r “^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr “} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Tuttavia, questo non è necessario per calcolare lenergia di legame di una sfera, poiché lenergia di legame gravitazionale è la somma delle energie richieste per rimuovere i gusci di massa dalla superficie di una sfera allinfinito ( immagina di staccare gli strati dalla superficie fino a raggiungere il centro).
Il potenziale sulla superficie di una sfera di massa $ M “$ è $ -GM” / R “$, dove la densità costante $ \ rho = 3M “/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Quindi $$ V (R “) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ e lenergia di legame è uguale a $ V (R “) $ moltiplicato per la massa di una shell, $ dM = 4 \ pi R “^ 2 \ rho \ dR” $, integrato su gusci di massa da zero al raggio finale della stella.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R “^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR “$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$