Cosa significa il termine esponenziale nella trasformata di Fourier?

È “un esponenziale complesso che ruota allinfinito sul cerchio unitario piano complesso:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Puoi pensare alla trasformata di Fourier come calcolatrice correlazione tra $ f (t) $ e un esponenziale complesso di ciascuna frequenza, confrontando quanto sono simili. Esponenziali complessi come questo hanno la bella qualità di poter essere tempo- spostato moltiplicandoli per un numero complesso di unità magni tude (una costante esponenziale complessa). Se il risultato della trasformata di Fourier a una particolare frequenza è un numero complesso non reale, lesponenziale complesso di quella frequenza può essere moltiplicato per quel numero complesso per spostarlo nel tempo in modo che la correlazione con $ f (t) $ è massimizzato.

Se non ti piace pensare a numeri immaginari, numeri complessi e funzioni, in alternativa puoi pensare al complesso esponenziale nel FT come una semplice scorciatoia per mescolare sia unonda sinusoidale che unonda coseno (della stessa frequenza) in una singola funzione che richiede meno gesso sulla lavagna per scrivi.

Che si tratti della trasformata di Fourier o della trasformata di Laplace o della trasformata Z, ecc. lesponenziale è la autofunzione degli operatori lineari e tempo-invarianti (LTI) . se una funzione esponenziale del “tempo” entra in un LTI, ne esce un esponenziale proprio simile (ma scalato dallautovalore). cosa il F.T. è scomporre una funzione generale in una somma di questi esponenziali. che può essere visto guardando la inversa Trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

converte una funzione in un integrale di funzioni armoniche. Puoi pensarli come peccati e coseni perché $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. La trasformata di Fourier come forma continua della serie di Fourier che trasforma qualsiasi segnale periodico in una somma di altri segnali periodici reali (armonici):

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

Nella trasformata di Fourier, puoi pensare ai coefficienti $ a_n $ e $ b_n $ ripercorrendo i valori di una funzione continua. Per approfondire il confronto, esiste una versione complessa della serie:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Commenti

• Cerca di attenersi a una variabile indipendente, $ t $ o $ x $, ma non entrambe. Inoltre, prova a trovare una parola migliore di ‘ hearken ‘, che non ‘ non ha alcun senso qui.
• Ti manca anche $ \ omega $ negli argomenti delle sinusoidi e della funzione esponenziale: $ \ cos (n \ omega t) $, ecc.
• @MattL. Ho bisogno di $ \ omega $? La trasformata di Fourier ha $ e ^ {i \ omega t} $, ma nella serie ” $ n $ ” prende il posto di $ \ omega $. ‘ non è corretto?
• No, $ \ omega = 2 \ pi / T $, dove $ T $ è il periodo di $ f (t) $, cioè a meno che $ T = 2 \ pi $ non sia necessario $ \ omega $.
• Ok. Capisco cosa intendi.

Considera il caso $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Quindi

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Quando $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , entrambi gli integrandi oscillano intorno allo zero e gli integrali sono effettivamente zero.Gli unici risultati diversi da zero sono

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

che è spesso espresso come $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

In parole, per qualsiasi valore dato dellargomento $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ factor traduce il componente di $ f (t) $ a quella frequenza in $ 0 $ e tutti gli altri componenti lontano da zero. Quindi lintegrale infinito produce una misura della forza del componente in $ 0 $ .

Nota che if $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , quindi $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Ciò significa che il segno di $ \ omega_0 $ può essere dedotto in modo univoco dalla funzione $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Non può essere dedotto da $ \ cos (\ omega_0 t) $ , perché è trigonometricamente identico a $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . La trasformata di Fourier gestisce questa ambiguità fornendo risposte diverse da zero sia a $ \ omega = \ omega_0 $ che a $ \ omega = – \ omega_0 $ . Ciò non significa che $ \ cos (\ omega_0 t) $ contenga entrambe le frequenze, perché $ \ omega_0 $ può avere un solo valore. Linterpretazione corretta è che $ e ^ {i \ omega_0 t} $ contiene più informazioni, non meno, di $ \ cos (\ omega_0 t) $ . La formula $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ sembra più informazioni, ma in realtà è una cancellazione di informazioni.

Commenti

• ” Ciò non significa $ cos (\ omega_0 t) $ contiene entrambe le frequenze, perché $ \ omega_0 $ può avere un solo valore. ” No. Il coseno è la somma di due toni puri complessi di frequenze opposte (due valori distinti). Quello che ‘ non puoi dire è il segno di $ \ omega_0 $. O è uninterpretazione valida, simile alla scelta di una radice quadrata. Quindi, per convenzione, le frequenze per toni puri di valore reale sono considerate positive.
• @Cedron – Considera una funzione $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ E $ \ \ quindi \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Dovrebbe concludiamo che $ x ^ 2 $ è qualcosa di più di una semplice funzione sulla retta dei numeri reali? È segretamente composto da due complesse funzioni? In tal caso, quali due? … perché avrei potuto facilmente definire $ f (x) $ come $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Questo non è ‘ t sulla scomposizione delle funzioni. Potresti dire altrettanto facilmente $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ per un argomento altrettanto specioso. La frase ” contiene entrambe le frequenze ” è nel contesto del FT (continua in questo caso). Se $ cos $ avesse una sola frequenza, ci sarebbe un solo valore diverso da zero nello spettro.
• Non ‘ penso che abbia senso discutere come molte frequenze contenute in un segnale generale, senza concordare cosa si intende per ” ragionevole ” decomposizione in funzioni periodiche. Una frequenza è quindi solo unespressione abbreviata per una componente periodica di una frequenza . Una scomposizione ragionevole, ad esempio, non includerà componenti che si annullano completamente a vicenda o componenti identici.
• @Olli – Grazie per laiuto editoriale con i miei delta. Pensavo che ‘ non fosse del tutto corretto, ma ‘ non avevo capito il motivo.