Cosa sono i FOC e i SOC?

Supponi di avere una funzione differenziabile $ f (x) $, che desideri ottimizzare scegliendo $ x $. Se $ f (x) $ è utilità o profitto, allora si desidera scegliere $ x $ (cioè pacchetto di consumo o quantità prodotta) per rendere il valore di $ f $ il più grande possibile. Se $ f (x) $ è una funzione di costo, allora devi scegliere $ x $ per rendere $ f $ il più piccolo possibile. FOC e SOC sono condizioni che determinano se una soluzione massimizza o minimizza una data funzione.

A livello undergrad, di solito è necessario scegliere $ x ^ * $ in modo tale che la derivata di $ f $ sia uguale a zero: $$ f “(x ^ *) = 0. $$ Questo è il FOC. Lintuizione per questa condizione è che una funzione raggiunge il suo estremo (massimo o minimo) quando la sua derivata è uguale a zero (vedi figura sotto). [Dovresti essere consapevole che ci sono più sottigliezze coinvolte: cerca termini come “soluzioni per interni e angoli”, “massimo / minimo globale e locale” e “punto di sella” per saperne di più].

Tuttavia, come mostra limmagine, trovare semplicemente $ x ^ * $ dove $ f “(x ^ *) = 0 $ non è sufficiente per concludere che $ x ^ * $ è la soluzione che massimizza o minimizza la funzione obiettivo. In entrambi i grafici, la funzione raggiunge una pendenza zero a $ x ^ * $, ma $ x ^ * $ è un massimizzatore nel grafico di sinistra, ma un minimizzatore nel grafico di destra.

Per verificare se $ x ^ * $ è un massimizzatore o un minimizzatore, è necessario il SOC. Il SOC per massimizzatore è $$ f “” (x ^ *) < 0 $$ e il SOC per minimizer è $$ f “” (x ^ *) > 0. $$ Intuitivamente, se $ x ^ * $ massimizza $ f $, la pendenza di $ f $ intorno a $ x ^ * $ sta diminuendo. Prendi il grafico a sinistra, dove $ x ^ * $ è un massimizzatore. Vediamo che la pendenza di $ f $ è positiva a sinistra di $ x ^ * $ e negativa a destra. Quindi, intorno allintorno di $ x ^ * $, allaumentare di $ x $, $ f “(x) $ diminuisce. Lintuizione per il caso di minimizer è simile.

Commenti

• Ma perché ' non è chiamato " Test della prima derivata " è ancora un mistero per me.

Ad esempio quando parli di massimizzazione del profitto a partire da una funzione di profitto $ \ pi (q) $, la condizione principale per un massimo è che: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Questo è il FOC (primo ordine condizione).

Tuttavia, per essere sicuro che quello che hai trovato sopra sia un vero massimo dovresti anche controllare una condizione “secondaria” che è: $$ \ frac {\ parziale ^ 2 \ pi} {\ partial q ^ 2} < 0 $$ Questa è chiamata SOC (condizione del secondo ordine).

Lobiettivo è trovare un massimo (o minimo) locale di una funzione.

Se f unzione è differenziabile due volte:

• Il test della derivata prima ti dirà se è un estremo locale.
• Il test della derivata seconda ti dirà se “è un massimo o un minimo locale.

Nel caso tu non è differenziabile, puoi eseguire un test estremo più generale.

Nota: è impossibile costruire un algoritmo per trovare un massimo globale per una funzione arbitraria .

Gli economisti neoclassici certamente rinominano questi due metodi matematici in condizioni del primo ordine e condizioni di secondo ordine per sembrare interessanti o per altri motivi storici. Perché usare un nome ampiamente utilizzato quando puoi inventarne uno solo?

Il termine viene utilizzato anche nella massimizzazione vincolata quando usano il moltiplicatore Lagrange e condizioni di Karush – Kuhn – Tucker . Ancora una volta, non credo che il termine sia usato da non economisti.