Cosè la risoluzione in frequenza?

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Mi sono reso conto che la mia definizione di seguito di ” Risoluzione di frequenza ” è completamente sbagliato (così come la domanda di OP). La risoluzione della frequenza è quanto la grandezza della funzione finestra nello spazio delle frequenze è simile alla funzione delta di Dirac. Questo perché il prodotto della finestra e il segnale nel dominio del tempo diventa convoluzione nel dominio della frequenza ( e una convoluzione con la funzione delta di Dirac è un campionamento che darebbe una risoluzione di frequenza perfetta) Più è grasso il lobo principale (quantificato dalla sua varianza) e più alti sono i lobi laterali, peggiore è la risoluzione in frequenza. Inoltre, la Risoluzione temporale può essere quantificata in base alla varianza della funzione finestra nel dominio del tempo.

Risoluzione di frequenza non è Risoluzione / Larghezza bin. Nel grafico sottostante si noti che i lobi non si avvicinano (risoluzione in frequenza) anche se la larghezza del bin sta diminuendo.

Credito: Dan Boschen

La risoluzione in frequenza è piuttosto una proprietà della trasformata di Fourier della funzione rettangolare (cioè la funzione sinc).

Dobbiamo utilizzare le funzioni finestra per lavorare con le trasformate di Fourier (anche quando si lavora in teoria). Di conseguenza lavoriamo sempre con $ f (t) w (t) $ invece che con la funzione $ f (t ) $ stesso (qui $ w (t) $ è una funzione rettangolare). Secondo il teorema di convoluzione, la trasformata di Fourier di una funzione con finestra è sempre una convoluzione di $ \ hat {f} $ con $ \ cappello {w} = $ sinc. In particolare quando $ f $ è sinusoidale, $ \ hat {f} $ sarà una funzione delta di Dirac e la convoluzione sarà solo un campionamento di una funzione sinc. Pertanto periodicamente perdiamo completamente le frequenze durante il windowing, la periodicità di questa perdita è la risoluzione di frequenza .

Poiché, sulle funzioni con finestra, il DTFT è unapprossimazione periodica del CTFT, acquisisce anche queste proprietà.

La confusione sorge perché quando non aggiungiamo zeri al DFT (cioè solo esempio $ f (t) w (t) $ dove $ w (t) = 1 $ ), la larghezza del bin è uguale alla risoluzione della frequenza.

Tuttavia, possiamo anche aggiungere zeri (ad esempio anche $ f (t) w (t) $ dove $ w (t) = 0 $ ) e questo si traduce nel DTF che interpola meglio il DTFT di $ f (t) w (t) $ . Conferisci con il primo grafico.

Per vedere perché la trasformata di Fourier della funzione rettangolare è una funzione sinc guarda questo video e considera lavvolgimento delle funzioni sinusoidali (è piuttosto complicato)

Per rispondere allesempio di OP la risoluzione del bin è $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ dove $ F_s = 2000 $ Hz è la frequenza di campionamento e $ N $ la dimensione DFT.

La risoluzione in frequenza è quella che sarebbe la risoluzione bin se solo campionassimo nella finestra (senza zero riempimento)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ dove $ M $ è il numero di campioni nella finestra, $ T $ è la durata del campione e $ F_s = M / T $ .

Commenti

• Bella risposta Tom.Anche per aggiungere, se non è chiaro, spesso non ‘ in realtà usiamo una finestra rettangolare, ma altre finestre che si assottigliano che servono a diminuire in modo significativo i lobi laterali (migliorare la gamma dinamica) a scapito del degrado risoluzione della frequenza ulteriormente. Uno dei miei articoli classici preferiti su questo e le applicazioni del DFT in generale è di fred harris. Penso che ‘ ti piacerà molto se ‘ non lhai già visto: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Bello, peccato che non posso ‘ votare a favore due volte!
• @TomHuntington Wikipedia apparentemente ‘ non conosce le mie formule o tecniche. Ho ancora difficoltà con la risoluzione intrabin (a causa del rumore e della sensibilità delle equazioni), ma le frequenze vicine sono risolvibili mediante stima e rimozione iterative. Quando rimuovi il tono grande, quello più piccolo è stimabile. Quando rimuovi il tono piccolo, ottieni una lettura migliore su quello grande. E così via, anche con più toni. Qualsiasi tipo di finestra complica i calcoli.
• Se hai due sinusoidi di ampiezza quasi uguale, ma molto vicine in frequenza, puoi utilizzare il fenomeno del battito nel dominio del tempo. La frequenza apparente del segnale (per zero crossing) è la media delle due frequenze e la frequenza dellinviluppo (se si prende un ciclo completo, ad esempio due lobi) è la metà della differenza delle frequenze.
• Inoltre, la risoluzione definisce la tua precisione in qualunque cosa tu stia misurando. Non dice nulla sulla precisione.

Dipende un po da ciò che stai cercando di ottenere.

Se esegui una FFT di lunghezza $ N $ di un segnale campionato a una frequenza di $ F_s $ , molte persone direbbero che la tua risoluzione in frequenza è $ \ frac {F_s} {N} $ . Che sia corretto o meno, dipende davvero da come si definisce esattamente la risoluzione di frequenza e da cosa si intende fare con essa.

Ciò che sta realmente accadendo è che si campiona una funzione nel dominio della frequenza con un campionamento intervallo di $ \ frac {F_s} {N} $ . Non appena scegli una dimensione FFT, stai campionando in entrambi i domini con gli intervalli di campionamento $ \ frac {1} {F_s} $ nel tempo e $ \ frac {F_s} {N} $ in frequenza.

Il campionamento nel dominio della frequenza ha tutte le stesse proprietà, requisiti e problemi del campionamento nel dominio del tempo, puoi ottenere aliasing, è possibile interpolare, si presume la periodicità nellaltro dominio, ecc.

Applicando semplicemente il teorema di campionamento si potrebbe sostenere che la risoluzione in frequenza richiesta per caratterizzare completamente un segnale è semplicemente linverso del lunghezza nel dominio del tempo. Questo funziona bene per i segnali che sono intrinsecamente legati al tempo, come la risposta allimpulso di un sistema LTI.

Tuttavia non è pratico per segnali continui lunghi. In questo caso è necessario scegliere una risoluzione di frequenza che “sia” abbastanza buona “per la propria applicazione e che dipenda realmente dai requisiti e dallobiettivo applicazione specifica.

Il campionamento è fornito da $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
La lunghezza della finestra è di 1000 campioni.
Poiché la lunghezza della finestra deve essere uguale alla lunghezza dei dati, deduciamo che la lunghezza dei dati è di 1000 campioni il che significa che il tempo di campionamento è $ 0,5 $ [Sec].

La risoluzione Bin in DFT è il rapporto tra lintervallo di campionamento e il numero di DFT Samples, che in questo caso è 2000. Quindi la risoluzione bin è $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

La larghezza di bin della FFT o la risoluzione di repreantation come mi piace chiamarla è Fs / N, dove N è la dimensione di FFT. La risoluzione effettiva dipenderà dalla finestra che utilizzi e dalla lunghezza della finestra.

Ad esempio: una finestra rettangolare fornirà la massima risoluzione ma un intervallo dinamico inferiore. Altre finestre più fluide forniscono una risoluzione inferiore con una gamma più dinamica o lobi laterali inferiori.