Cosè la Superficie Fermi ? Spero che questa domanda non sia troppo elementare per questo forum e chiedo scusa in anticipo nel caso lo sia.

Mi permetta di spiegare la mia confusione. Dato un solido, credo di avere qualche sensazione per il livello di Fermi. Posso capirlo, ad esempio, come il parametro caratteristico $ \ mu $ nella distribuzione di Fermi-Dirac dei livelli di energia per gli elettroni nel sistema: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorando per il momento altre interpretazioni fisiche. Quindi, è lunico livello di energia che ha probabilità 1/2 di essere occupato.

La definizione della superficie di Fermi, daltra parte, è solitamente data come “liso-superficie di stati con energia uguale al livello di Fermi “nello spazio tridimensionale dei vettori donda $ k $ , ad esempio in questo articolo di Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

In altre parole, è definito come $ k $ tale che $$ E (k) = \ mu. $$ Fin qui tutto bene. Il problema è che non capisco bene cosa sia $ E (k) $ .

Una situazione sembra essere semplice, vale a dire un Fermi gas di particelle identiche. Quindi $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ e la superficie di Fermi è una sfera. Tuttavia, se siamo in un potenziale periodico infinito, il solito modello idealizzato per la teoria di Bloch, quindi le soluzioni allequazione di Schroedinger vengono fuori nella forma $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ dove $ u_ {kn} $ è una funzione periodica e $ n $ è un indice discreto per i livelli di energia. In altre parole, per ogni vettore donda $ k $ ,

ci sono molti livelli di energia $ E_n (k) $ .

Quindi lequazione per il La superficie di Fermi sarebbe effettivamente $$ E_n (k) = \ mu. $$ La mia domanda, quindi, qual è il livello di energia $ E (k) $ che si trova nella definizione della superficie di Fermi? Forse esiste una superficie Fermi per ogni livello $ n $ ? (Supponendo che i livelli variano continuamente nello spazio della quantità di moto, consentendoci di indicizzare costantemente i livelli per la variazione di $ k $ .)

Se potessi approfondire un po di più la mia confusione, non capisco bene la definizione in questa risposta a questa domanda:

Cosè la superficie di Fermi e perché questo concetto è così utile nella ricerca sui metalli?

Si afferma che

“La superficie di Fermi è semplicemente la superficie nello spazio della quantità di moto dove, nel limite di interazioni zero, tutti gli stati fermionici con quantità di moto (cristallina) $ | k | < | k_F | $ sono occupati e tutti gli stati di quantità di moto superiori sono vuoti. “

Per prima cosa, come accennato in precedenza, per qualsiasi momento $ k $ , ci è una sequenza infinita di stati di fermioni. Laltro problema è che non sono sicuro che laffermazione sopra definisca una superficie unica, anche se fossi in grado di individuare in qualche modo uno stato di fermioni $ \ psi (k) $ per ogni $ k $ a cui si riferisce listruzione. (Avrei bisogno di disegnare unimmagine per spiegare questo punto, cosa che non ho la competenza per farlo.)

Commenti

  • The Fermi la superficie è definita a una temperatura di zero assoluto, quindi prendi le soluzioni dello stato fondamentale $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • E in un solido, guardi gli stati allinterno di a ( Wigner-Seitz) cella unitaria.
  • Lemon: Trovo anche questo abbastanza confuso. Quindi la tua affermazione sarebbe ‘ La superficie di Fermi è linsieme di $ k $ tale che $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ dove $ E_0 (k) $ è lenergia più bassa con quantità di moto $ k $. Ma poi, in un solido dove molti di le bande di energia inferiore sono riempite, ci sarebbero molti elettroni sopra il livello di Fermi. Questo sembra non essere in accordo con la solita immagine.
  • Jon Custer: immagino che tu ‘ si riferisce al fatto che ciascuno dei $ u_ {kn} $ è determinato dai propri valori in una cella. Questo ‘ è vero. Ma non ci sono stati che sono solo conc inserito in una cella. (I $ u_ {kn} $ sono periodici.) In ogni caso, ‘ non vedo come questo risponde alla domanda.Il modo in cui lo esprimi, lo fai suonare come ‘ per ogni $ k $, cè un unico $ \ psi_ {kn} $ concentrato in una cellula, e la sua energia è ciò che usiamo per definire la superficie di Fermi. ‘ Questo ‘ non suona bene per una serie di ragioni.

Rispondi

Tutto quello che dici è corretto. La superficie di Fermi è definita come linsieme di punti $ k $ tali che $ E_n (k) = \ mu $ per qualsiasi banda $ n $. Tuttavia, in genere le bande sono relativamente distanziate e non si sovrappongono in termini di energia, in questo modo:

inserisci immagine descrizione qui

Come possiamo vedere, le bande 1 e 3 si trovano completamente al di sopra o completamente al di sotto del potenziale chimico $ \ mu $ e quindi sono irrilevanti per determinare la superficie di Fermi ( infatti, a basse temperature, quelle bande sono praticamente irrilevanti per qualsiasi fenomeno fisico – solo le bande vicine al potenziale chimico sono fisicamente importanti). Ecco perché in pratica, puoi farla franca solo considerando una o due bande e ignorando completamente tutte le altre – e quando cè una superficie di Fermi (cioè il potenziale chimico interseca una o più bande), una banda è quasi sempre sufficiente.

In più complicato / insolito sistemi, tuttavia, è necessario tenere traccia di più bande. Ad esempio, a volte le bande possono toccarsi o incrociarsi e possono accadere cose divertenti se si sintonizza il potenziale chimico esattamente sul cr punto di ossing. Ancora più insolitamente, due bande possono condividere unintera gamma finita di energia, ad es. due curve del coseno spostate verticalmente di una piccola quantità. Ma questi casi sono molto rari: per la maggior parte dei materiali di uso quotidiano, $ \ mu $ risiede al massimo in una banda e non devi preoccuparti di questo. (In effetti, ai fisici professionisti piace trovare / creare materiali insoliti in cui il potenziale chimico non si trova proprio a un incrocio di bande, precisamente perché tali sistemi non sono teoricamente ben compresi, quindi cè dellaltro da imparare.

A proposito, in 1-D, come il grafico sopra, la “superficie” di Fermi consiste solo di valori isolati di $ k $, ma in 2-D è solitamente una curva chiusa nel piano $ k_x $ – $ k_y $ , e in 3-D è “di solito una superficie chiusa, come una sfera. A volte la superficie di Fermi può effettivamente consistere di due (o più) sfere, una dentro laltra, e la riempita” Mare di Fermi “per la banda pertinente si trova tra loro. Questo fenomeno è chiamato” annidamento della superficie di Fermi “. Ma se” stai solo imparando a conoscere le superfici di Fermi, non dovrai preoccuparti situazioni complicate per molto tempo.

Commenti

  • Grazie per la chiara risposta. A proposito, ‘ ho capito ora che viene utilizzata la parola ‘ band ‘ in due modi distinti nella fisica dello stato solido. La parola che usi qui si riferisce solo a un livello di energia. Ma esiste anche la nozione di banda come una distribuzione essenzialmente continua dei livelli di energia, tra i quali ci sono ‘ lacune. ‘ Penso che questo era una parte importante della mia confusione. Correggimi se ‘ mi sbaglio.
  • @MinhyongKim A ” band ” è definito come una singola curva $ E_n (k) $ per un dato valore di $ n $. (Penso che ‘ sia in qualche modo fuorviante chiamarlo un ” livello di energia ” perché la funzione generalmente non è costante, quindi assume valori su un intero intervallo finito di energie). Le persone occasionalmente abusano della terminologia e usano anche la parola ” band ” per fare riferimento allintervallo di energia in cui la funzione varia, ovvero collassare la dipendenza dal momento. ‘ hai ragione che questo è ciò a cui pensano le persone quando parlano di ” gap di banda. ” Ma i due sensi della ” band ” sono quasi identici …
  • .. Lunica differenza è se si tiene traccia della dipendenza da $ k $ o si considera semplicemente la funzione ‘ s range.
  • Grazie per lulteriore spiegazione. Ma mi sembra piuttosto importante distinguere i due sensi. Se la parola ‘ band ‘ fosse usata nel senso di struttura elettronica della banda, allora lequazione $ E_n (k) = \ mu $ non sarebbe ‘ ben definito anche per un valore fisso di $ n $. Questa era una delle cose che confondevano molto per un principiante come me. In ogni caso, grazie ancora!

Risposta

La superficie di Fermi è la superficie nello spazio reciproco (la duale dello spazio reale in cui vivi) delimitando gli stati occupati fermionici da quelli fermionici non occupati a temperatura zero.Quindi è una costruzione momentum ($ k $) piuttosto che una costruzione energetica.

La logica è la seguente: prova a mettere insieme un dato numero di fermioni. Poiché seguono il principio di esclusione di Pauli, non è possibile impacchettare questi fermioni nel modo desiderato. Ogni volta che cè spazio per uno stato nello spazio della quantità di moto, solo un fermione può occupare questa stanza vuota. Quindi devi iniziare ad accumulare i fermioni. Ha una completa analogia con il riempimento di una libreria di libri: devi usare la riga successiva quando quella precedente è piena. Puoi usare intervalli più piccoli tra i raw, ingrandire la dimensione di ogni raw, …, se hai troppi libri, potresti usare il raw successivo, che non è altro che usare il ramo di momentum successivo nella tua relazione di dispersione (ciò che chiami $ k_n (E) $). Quando metti lultimo fermione nella tua libreria fermionica , lo stato di quantità di moto corrispondente è chiamato quantità di moto di Fermi, lenergia corrispondente è chiamata energia di Fermi, … e la superficie di iso- $ k $ alla quantità di moto di Fermi è chiamata superficie di Fermi.

Poche osservazioni ora

  • Non ci sarà mai un numero infinito di rami usati per riempire un finito numero di fermioni nelle relazioni di dispersione (la struttura a bande del materiale se preferisci).

  • Non cè contraddizione nel supporre che la superficie di Fermi abbia diversi fogli. Anche su Wikipedia hai già un esempio di superficie di Fermi con tasche di elettroni e lacune

  • Il concetto di superficie di Fermi deriva dalla nozione di statistica (Fermi-Dirac), quando si ha un numero finito di particelle da affrontare (in una terminologia antica, è un secondo problema quantizzato), mentre la struttura a bande è lo spettro completo degli stati disponibili per uno particella (nella terminologia antica, è un primo problema quantizzato) in un potenziale periodico. Il modo più semplice per passare dalluna allaltra è luso del potenziale chimico, che fissa il numero di particelle per stato energetico (più precisamente, la quantità di energia richiesta per aggiungere una particella al sistema termodinamico).

  • La superficie di Fermi è un concetto particolarmente utile per comprendere alcune proprietà di trasporto (elettrico, termico, … trasporti) per materiali con strutture a bande semplici, come metalli puri e semiconduttori drogati. Quando la superficie di Fermi diventa troppo complicata, diventa difficile trarne intuizione. Penso che questo sia al centro del fraintendimento del concetto nella tua domanda.

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