Avvertenza: La prima parte di questa risposta assume una posizione molto tecnica sulla procedura BRST e inoltre lavora con uno spazio delle fasi a dimensione finita per comodità. Potrebbe sembrare abbastanza lontano dalla comprensione dei fantasmi nellapplicazione media delle trasformazioni BRST o dei fantasmi come strumento.

---

La concezione generale dei fantasmi

Ce ne sono molti diversi livelli ai quali si può discutere la comparsa di fantasmi, anti-fantasmi e il loro numero nella meccanica hamiltoniana vincolata (che è la stessa delle teorie di gauge a livello lagrangiano). Uno di questi è parzialmente abbozzato in questa mia risposta , dove loperatore BRST è mostrato come differenziale nella coomologia dellalgebra di gauge di Lie.

Esamineremo un modo leggermente diverso di guardare i fantasmi, vale a dire ” estendendo lo spazio delle fasi “, in questa risposta, sebbene questo può essere visto come una riformulazione dellapproccio coomologico dellalgebra di Lie in ” termini dello spazio delle fasi “:

Il formalismo BRST, a livello astratto, cerca di implementare la riduzione a una superficie di vincolo $ \ Sigma $ in uno spazio delle fasi $ X $ non risolvendo i vincoli $ G_a $ , ma cercando un opportuno allargamento dello spazio delle fasi in modo che le funzioni sullo spazio delle fasi ingrandito abbiano un derivazione graduata $ \ delta $ che vive di chi ha mology calcola le funzioni sulla superficie del vincolo, che sono le osservabili invarianti di gauge. ¹

Lo spazio delle fasi ingrandito si ottiene come segue:

1. Una funzione sulla superficie di vincolo $ \ Sigma $ è data dal quoziente di tutte le funzioni dello spazio delle fasi modulo le funzioni che scompaiono sulla superficie. Ogni funzione $ f $ che scompare in superficie è data da $$ f = f ^ a G_a $$ dove $ f ^ a $ sono funzioni arbitrarie dello spazio delle fasi. Se si introducono tante variabili $ P_a $ quanti sono i vincoli, e si definisce $ \ delta P_a = G_a $ così come $ \ delta z = 0 $ per qualsiasi variabile dello spazio delle fasi originale, quindi limmagine di $ \ delta $ è esattamente tutte le funzioni che scompaiono in $ \ Sigma $ . Affinché $ \ delta $ venga valutato, $ P_a $ deve essere considerato di grado $ 1 $ . Il grado di una funzione come semplicemente il grado di esso come polinomio nel $ P_a $ è chiamato anti- numero fantasma . ²

2. Il $ P_a $ sono soli e hanno bisogno di variabili coniugate. Questi sono dati dalle cosiddette forme 1 longitudinali sulla superficie del vincolo, dove un campo vettoriale longitudinale sulla superficie del vincolo è tangente alle orbite di gauge. I loro duali sono 1-forme che sono definite solo su vettori longitudinali. Dovrebbe essere geometricamente intuitivo (ed è infatti vero) che i campi vettoriali longitudinali sono precisamente i campi che generano le trasformazioni di gauge (sono ancora solo unaltra incarnazione dellalgebra di gauge di gauge). Pertanto, ci sono tante forme 1 longitudinali di base $ \ eta ^ a $ quanti sono i vincoli e quanti sono gli anti-fantasmi $ P_a $ .Poiché esiste lazione naturale $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ per definizione del duale, è anche naturale definire solo la parentesi di Poisson su uno spazio delle fasi allargato con coordinate $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ di $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ quindi le coppie $ (\ eta ^ a, P_a) $ agiscono come coppie aggiuntive di variabili canoniche. La derivazione è estesa a $ \ eta $ semplicemente da $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Alle funzioni su questo spazio delle fasi allargato viene ora assegnato un numero fantasma puro in base al loro grado in $ \ eta $ .

Data qualsiasi funzione nello spazio delle fasi ingrandito, il fantasma numero è semplicemente il numero fantasma puro meno il numero anti-fantasma.

La cosa bella del numero fantasma è che è laddebito di un determinato generatore – è misurato dalloperatore ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ che soddisfa $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ per qualsiasi funzione di fantasma definito numero. Il numero fantasma è fisicamente importante perché essere uno stato di numero fantasma zero è, insieme alla condizione di essere BRST invariante, la condizione necessaria e sufficiente per essere uno stato fisico.

Per ottenere questa condizione, tuttavia, è necessario ora ottenendo il differenziale BRST aggiungendo un altro differenziale $ \ mathrm {d} $ a $ \ delta $ , e mostrando che $ \ delta + \ mathrm {d} $ dà, quando ” piccole perturbazioni , loperatore nilpotente richiesto per il formalismo BRST. (La derivazione di questo è molto tecnica, e talvolta nota come ” teorema della teoria delle perturbazioni omologiche “) Esaminando poi di nuovo le azioni di $ \ mathrm {d}, \ delta $ , si scopre che le funzioni invarianti di gauge sono precisamente quelle invarianti sotto loperatore BRST con numero fantasma zero, quindi la teoria quantistica dovrebbe imporre anche questa restrizione.

---

^{1 ” la cui omologia calcola ” è la matematica che parla perché è un operatore $ \ delta $ , dove le funzioni invarianti di gauge sono precisamente le funzioni con $ \ delta (f) = 0 $ e dove identifichiamo $ f $ e $ g $ se esiste un $ h $ tale che $ \ delta (h) = f – g $ . Inoltre, questo diventa un po più complicato nel caso di vincoli riducibili.}

^{2 Nel caso di vincoli irriducibili, questo calcola già correttamente lindicatore -variabili, e in linea di principio ci si potrebbe fermare qui. Tuttavia, non è soddisfacente aver aggiunto $ P_a $ , ma non avere variabili opportunamente coniugate per esse nel formalismo hamiltoniano.}

^{3 Questa definizione è lanalogo discreto e non conforme allespressione per $ U $ scritta nella domanda.}

^{Riferimento principale: ” Quantizzazione dei sistemi di misura ” di Henneaux / Teitelboim}

---

Il caso specifico di $ bc $ -CFT

Un ” $ bc $ -CFT ” generale, ovvero un 2D la teoria dei campi conforme con campi simili a fantasmi è data dallazione fantasma $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ quando i campi $ b $ e $ c $ hanno pesi conformi $ h_b $ e $ h_c = 1 – h_b $ , rispettivamente. Le funzioni dello spazio delle fasi con numero fantasma zero si traducono ora in operatori con peso conforme $ 1 $ (poiché hanno lo stesso numero di fantasmi e anti-fantasmi e il peso si comporta in modo additivo ).

Ciò mostra che gli stati fisici primari (dalla corrispondenza del campo di stato dei CFT 2D) in tale teoria devono necessariamente avere un peso conforme $ 1 $ .Questo è importante nella teoria delle stringhe, dove un $ bc $ -CFT con $ h_b = 2 $ è naturalmente aggiunto al $ X $ -CFT dei campi worldsheet. Per un CFT generico, tutti i possibili primari potrebbero, in linea di principio, essere stati fisici, ma la procedura BRST forza gli stati ghost number zero, cioè i campi con peso $ 1 $ , come il consentiti solo stati fisici.

Commenti

• Questa è una risposta molto dettagliata ma potresti anche fornire un esempio delluso di numeri fantasma in CFT in particolare ?
• @JakeLebovic: ho aggiunto una breve spiegazione di come il requisito del numero fantasma zero si riflette nel caso della teoria delle stringhe (che è lunico caso a me noto in cui i fantasmi appaiono in un CFT).

Nella teoria dei campi conformi sul piano, è necessario definire un prodotto interno nello spazio di stati della tua teoria. Nella teoria delle stringhe bosoniche, lo spazio degli stati cioè lo spazio di Hilbert della teoria $ \ mathcal {H} $ è lo spazio della rappresentazione dellalgebra di Virassoro:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

Nella quantizzazione radiale di CFT sul piano complesso, ad ogni stato nello spazio di Hilbert della teoria, si può associare un operatore locale sul piano complesso, il cosiddetto corrispondenza operatore-stato . Il prodotto interno BPZ su questo spazio di Hilbert può essere definito. La prima cosa è definire gli stati asintotici $ | 0 \ rangle $ e $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identity operator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {allorigine} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Operatore di identità} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {allinfinito} \, \, z = \ infty $$

Questi due possono essere correlati da una trasformazione conforme $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Si può dimostrare che sotto questa trasformazione conforme le modalità $ \ hat {\ alpha} _n $ di un campo $ \ Phi $ di dimensione conforme $ h _ {\ Phi} $ si trasformano come:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Quindi sotto la trasformazione conforme abbiamo il seguente:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Questo, per lalgebra di Virasoro, implica che $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ e $ L_1 $ e le loro controparti antiolomorfe $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ e $ \ overline {L} _1 $ annientano sia $ | 0 \ rangle $ che $ \ langle0 | $. Ma queste modalità generano il gruppo $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, il gruppo della trasformazione conforme globale sulla sfera di Riemann. Quindi $ | 0 \ rangle $ è noto come $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – vuoto invariante.

Daltra parte, usando $ (1) $ si può mostrare che $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ e $ b_1 $ annullano anche $ | 0 \ rangle $ e $ \ langle0 | $. La relazione di commutazione canonica del sistema $ bc $ mostra che:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

quindi le modalità $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ e $ c_1 $ non annullano nessuno dei $ \ rvert0 \ rangle $ e $ \ langle0 \ rvert $. Il primo elemento di matrice diverso da zero per il sistema $ bc $ sulla sfera di Riemann è così:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

La coniugazione BPZ cioè la relazione (1) viola il numero fantasma di 3 unità. Lazione del sistema $ bc $ ha la seguente simmetria del numero fantasma:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

La corrente corrispondente è:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

In cui $: \ cdots: $ denota un ordinamento normale.

Lorigine della violazione del numero fantasma sopra descritta è geometrica. $ j $ è il numero di fermioni corrente dei fermioni chirali che hanno spin intero non convenzionale ($ b $ e $ c $ hanno entrambi spin intero.) Quindi ha unanomalia gravitazionale:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

In cui $ \ lambda $ è la dimensione conforme di $ b $. Integrando questo, si può vedere che la violazione del numero fantasma su una superficie di genere $ g $ Riemann (foglio del mondo della teoria delle stringhe chiuse) è $ 3 (g-1) $. Limportanza della corrente fantasma è che determina gli elementi della matrice S diversi da zero del CFT.