Voglio passare attraverso la derivazione della rappresentazione della frequenza di un treno di impulsi.
La definizione della funzione treno di impulsi con periodo $ T $ e la rappresentazione della frequenza con frequenza di campionamento $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ che vorrei derivare è:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Utilizzando la rappresentazione in serie di Fourier esponenziale della funzione impulso e applicando la trasformata di Fourier da lì si ottiene:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Per arrivare da lì al risultato finale, sembrerebbe che lintegrazione sarebbe deve essere superiore a un periodo di $ 2 \ pi $. Dove $ \ Omega = -k \ Omega_s $, lesponente sarebbe $ e ^ 0 $ e si integrerebbe a $ 2 \ pi $ e per altri valori di $ \ Omega $, ci sarebbe unonda sinusoidale completa che si integrerebbe a zero. Tuttavia, i limiti dellintegrazione sono da infinito negativo a infinito positivo. Qualcuno può spiegarlo? Grazie!
Risposta
Hai capito correttamente che gli integrali che si verificano non convergono in senso convenzionale. Il più semplice (e decisamente non rigoroso) per vedere il risultato è notare la relazione della trasformata di Fourier
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Con lo spostamento / proprietà di modulazione che abbiamo
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Quindi ogni termine $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ nella serie di Fourier si trasforma in $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $ e il risultato segue.
Commenti
- Questa è perfetta e molto più semplice di quanto pensassi. Grazie mille !!!
- Anche laltra risposta era corretta. Ho cambiato quella accettata.
Risposta
@MattL ha suggerito un modo carino e semplice per vedere il risultato sopra.
Ma se vuoi vedere il risultato nelle normali equazioni di analisi che hai menzionato, puoi fare come sotto.
Supponiamo che S (t) sia un treno periodico di impulsi, quindi S (t) può essere scritto come
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Ora se prendi la serie di Fourier di S (t), puoi scrivere S (t) come
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Dove $ C_n $ sono i coefficienti esponenziali della serie di Fourier e $ w_o $ è il frequenza fondamentale.
Quindi dalla serie di Fourier esponenziale sappiamo che
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Ora nellespressione sopra, sostituire il valore di S (t) dalla prima espressione.
Quindi $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Ora, devi fare unosservazione, se osservi lintegrale, è da -T / 2 a + T / 2. Durante questo periodo integrale, osserva che esiste un solo impulso $ \ delta (t) $. Tutte le altre funzioni dellimpulso nella somma si verificano dopo T / 2 o prima di -T / 2. Quindi in totale lequazione sopra per $ C_n $ può essere scritta come
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Da sifting property possiamo scrivere quanto sopra come
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Ora inserisci questo valore di $ C_n $ nella prima equazione S (t)
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Ora trova la trasformata di Fourier dellequazione precedente
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Quindi la trasformata di Fourier è $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Questo dovrebbe aiutare.