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- Non cè davvero bisogno di farlo, anche se ci si aspetta che lo faccia. ' è in realtà unidentità molto più basilare di qualsiasi altra cosa che richiederebbe un integrale. Hai solo bisogno di mescolare gli operatori da un lato allaltro dellespressione bra-ket, usando la definizione del coniugato hermitiano.
Risposta
Come scritto a sinistra, lintegrazione per parti è inutile. Non hai le espressioni per gli operatori, quindi non cè motivo per farlo. Ma puoi usare quanto segue: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align} dove ho usato la definizione di coniugato hermitiano, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ e base $ | c \ rangle $ di autovettori di un operatore in uno spazio di Hilbert, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Risposta
In realtà non è necessario scegliere una base come indicato in La risposta di Andrew McAdams.
Questo è più facile da dimostrare in notazione mathy (al contrario della notazione di Dirac) dove $ (\ cdot, \ cdot) $ è il prodotto interno, quindi per tutti i vettori $ \ phi $ e $ \ psi $ nello spazio di Hilbert, e per gli operatori $ A $ e $ B $, abbiamo \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} mentre daltra parte \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} che implica $ B ^ \ dagger A ^ \ dagger = (AB) ^ \ dagger $ come desiderato.
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- e qui come una singola riga, giusto per il gusto di farlo: $ ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ dagger = B ^ \ dagger A ^ \ dagger $