È possibile conoscere simultaneamente i valori esatti di quantità di moto e velocità di una particella?

È abbastanza comune discutere i due estremi del principio di indeterminazione, sinusoide e funzione delta. Uno ha una lunghezza donda perfettamente definita ma nessuna posizione, laltro ha una posizione perfettamente definita ma nessuna lunghezza donda.

Tuttavia, nessuna di queste forme è terribilmente fisica per la funzione donda di posizione di una particella. Una vera funzione donda sinusoidale si estenderebbe attraverso tutto lo spazio, il che è assurdo per diversi motivi (inclusa la presenza di altra materia). Una vera funzione delta avrebbe la stessa probabilità di avere una quantità di moto, che probabilmente violerebbe la conservazione dellenergia. Quindi, questi due limiti estremi sono matematicamente interessante, ma non fisicamente rilevante.

Alla domanda “Il principio di indeterminazione pone un limite al fatto che la quantità di moto e la velocità siano simultaneamente ben definite?”, la risposta è no.

Dato alla domanda “Il principio di indeterminazione mi vieta di misurare una singola variabile con una precisione infinita?”, la risposta è no.

Data la domanda “ qualcosa mi vieta di misurare con precisione infinita? “, la risposta è sì .

Quindi, la tua domanda menziona i” valori esatti “, che è un argomento molto interessante e spinoso soggetto. (È mai possibile misurare un valore esatto? Come potremmo dire la differenza?) Sei davvero curioso dei “valori esatti”? Sei più curioso di sapere dove si applica e non si applica il principio di indeterminazione di Heisenberg? O sei curioso se ci sono altri limiti nella nostra capacità di misurare, oltre al principio di indeterminazione?

Commenti

• Chiedevo solo perché mi è stato chiesto durante un test ed ero curioso di conoscere la risposta dopo aver sostenuto il test. So che il principio di incertezza si occupa di energia e tempo, e poi si occupa anche di posizione e momento. Quindi ho pensato che se avessimo misurato la posizione ipoteticamente con esatta certezza, allora saremmo stati completamente incerti sulla sua posizione, quindi completamente incerti sulla sua velocità. Tutto quello che volevo sapere era se lincertezza sulla posizione garantisce lincertezza sulla velocità
• Se ignoriamo gli effetti relativistici, la velocità e la quantità di moto sono direttamente proporzionali luna allaltra con la particella ‘ s come costante di proporzionalità, quindi se ne conosci una esattamente, ottieni laltra gratuitamente.

Gli autovalori di velocità dellequazione di Dirac sono $ \ pm c $. Questo è ben noto da quando è stata trovata lequazione; vedere il libro di Dirac, “The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed.”, Oxford University Press, Oxford 1958, Capitolo XI “Relativistic Theory of the Electron”, Sezione 69, “The motion of a free electron”, pagina 262 Era un fatto comunemente insegnato della meccanica quantistica, ma capisco i voti negativi, ora è possibile ottenere un dottorato di ricerca in fisica senza sapere la minima cosa sul seguente calcolo abbastanza elementare. In parte dal momento che questo non è più insegnato, la derivazione è riapparsa di recente in letteratura, ad esempio vedi: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral oscillazioni in termini di effetto zitterbewegung / hep-th / 0701091 , intorno allequazione (11).

Cominciamo col notare che la velocità è il tasso di cambio di posizione e che puoi definire il tasso di cambio di posizione utilizzando il commutatore:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Se quanto sopra ti sembra magico, leggi la voce di wikipedia su Teorema di Ehrenfest che afferma il principio e fornisce la stessa situazione per la meccanica quantistica non relativistica: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ e quindi $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (per il caso non relativistico) . Quindi, per il modello elettronico non relativistico, è possibile misurare simultaneamente velocità e quantità di moto; la loro costante di proporzionalità è la massa. Ma con la relatività la proporzionalità non si verifica quindi la situazione è diversa.

Perché uno stato sia un autostato di velocità richiede che:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definì lHamiltoniano delle particelle libere $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. Nella notazione moderna, $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ e $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, mentre $ p $ è il solito operatore di quantità di moto.

Si noti che il lunica cosa che non funziona con $ \ hat {x} $ è la componente x delloperatore momentum, che fornisce $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. sopra si riduce a:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$

Usando la scelta di wikipedia della rappresentazione della matrice gamma, abbiamo: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0

Largomento secondo cui il Principio di incertezza di Heisenberg proibisce che possiamo conoscere i valori esatti di quantità di moto e velocità di una particella simultaneamente è già screditato nel vecchio libro di testo di Feynman sul Quantum Elettrodinamica.

È possibile determinare due osservabili simultaneamente se gli operatori commutano. Per velocità e quantità di moto, gli operatori commutano $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; lo fanno anche in la teoria della funzione donda di Dirac con i suoi effetti Zitterbewegung.