Diciamo che in qualche modo $ 100 (1- \ alpha) \% $ intervallo di confidenza della media della popolazione $ \ mu $ è nota come $ (a, b) $ e il numero di campioni è $ n $ . È possibile dedurre stime puntuali della media e della varianza della popolazione da queste informazioni? In questo caso, si presume che la popolazione segua la distribuzione normale.
Unidea è che, poiché lintervallo di confidenza della media della popolazione può essere calcolato se conosciamo la media del campione $ \ overline {x} $ e la varianza della popolazione $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , noi può impostare $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ e risolvi per $ \ overline {x} $ e $ \ sigma $ . Certamente, in questo caso, $ \ overline {x} $ può essere trattato come stima puntuale della media della popolazione. Tuttavia, che dire di $ \ sigma ^ {2} $ ? Questa è “vera” varianza della popolazione o è solo una “stima puntuale” della varianza della popolazione? Sono davvero confuso su come $ \ sigma ^ {2} $ dovrebbe essere interpretato in questo caso.
Risposta
Puoi derivare $ \ bar {x} $ e $ \ sigma ^ 2 $ che ha generato quellintervallo di confidenza, sì. Tuttavia, conoscere la dimensione del campione e il livello $ \ alpha $ è fondamentale e non è possibile risolvere il problema senza queste informazioni.
La z- intervallo di confidenza basato implica una varianza nota che viene utilizzata nel calcolo dellintervallo di confidenza, quindi quando usi la larghezza per risolvere la varianza, stai risolvendo la varianza vera $ \ sigma ^ 2 $ , non una stima $ s ^ 2 $ . Se lintervallo di confidenza è basato su t, dovresti risolvere per $ s ^ 2 $ .
La larghezza di una confidenza basata su z lintervallo non dipende dai dati, poiché conosci la varianza della popolazione. Quando conosci un parametro, non ti preoccupi di stimarlo.
Commenti
- Se ho capito bene, la risposta dipenderà dal fatto che lintervallo di confidenza è stato ricavato dal metodo basato su z o dal metodo basato su t. Grazie per la risposta.
- Questo spiega perché utilizziamo intervalli basati su z e intervalli di confidenza basati su t. Se conosciamo la varianza della popolazione, non ' ci preoccupiamo degli intervalli di confidenza basati su t e lintervallo basato su z ha la sua larghezza determinata da $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Quando ' non conosciamo la varianza della popolazione (praticamente sempre), stimiamo la varianza della popolazione di $ s ^ 2 $ e utilizziamo intervalli di confidenza basati su t per tenerne conto lincertezza che circonda la stima (vale a dire che tiene conto del fatto che la nostra stima potrebbe essere una stima errata).