Nellimmagine di Heisenberg (utilizzando le dimensioni naturali): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Se lhamiltoniano è indipendente dal tempo, allora possiamo prendere una derivata parziale di entrambi i lati rispetto al tempo: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Pertanto, $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$ ma questo non è equivalente a quello che molti libri di testo elencano come lequazione del moto di Heisenberg. Invece affermano che $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Perché, in generale, questa è vera e non la prima affermazione? Sono solo pedante con il mio uso di derivati parziali e totali?
Commenti
- Perché hai applicato la derivata parziale? Nel formalismo di Heisenberg, le chiavi di stato sono fissate nel tempo e gli operatori variano nel tempo. Quindi puoi prendere la derivata del tempo totale delloperatore sullLHS.
- Scusa se ‘ t capire la tua logica. Qui $ O_s $ può variare nel tempo, così come $ O_H $, ma è molto chiaro che su LHS cè una derivata totale tempo di $ O_H $ e cè un tempo parziale derivato che appare su RHS. Perché ‘ non sono entrambe derivate parziali nel tempo?
- @ I.E.P. NellEq. (2), Sul lato sinistro, perché ‘ non è $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, Sul lato sinistro, devi usare $ \ frac {d \, O_H} {dt} $ e la derivata totale può essere espressa come la somma delle derivate parziali.
- @IEP Penso che qui, quello che ti manca è la differenza matematica tra derivata totale e derivata parziale. A sinistra $ O_H $ in funzione di $ t $, da cui la derivata totale, a destra $ O_H $ come funzione composta tramite la relazione (1), da cui la derivata parziale per ogni funzione componente.
Risposta
Con alcune definizioni per rendere esplicite le dipendenze dal tempo, è possibile dare un senso alla tua equazione (4). Prendiamo quanto segue:
Sia $ O_s $ un operatore dipendente dal tempo e da altri parametri $ O_s: \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, dove $ S $ è lo spazio degli altri parametri e $ \ mathrm {Op} $ è lo spazio degli operatori nello spazio di Hilbert. Sia $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ indica levoluzione temporale degli operatori nellimmagine di Heisenberg, data da $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Nota che $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ e $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (perché $ \ phi $ è lineare in $ O $). Ora, dato un parametro $ p \ in S $ possiamo definire la funzione del tempo: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ con $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. La nostra funzione $ O_H $ è una un parametro uno, quindi ha senso prendere solo la sua derivata totale: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ sinistra [(\ partial_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
dove nel primo passaggio ho applicato la regola della catena e negli altri, le uguaglianze che avevamo già.
Risposta
No, non sei “solo” pedante con il tuo uso improprio di derivati parziali: le tue Eqns (2) e (3) sono nettamente sbagliate. Semplicemente non hai applicato correttamente le definizioni, come ha sottolineato @WeinEld. (Avresti potuto risparmiarti il dolore se avessi illustrato la tua stessa domanda per un sistema semplice, come lo SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ quindi per $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ dove $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ e allo stesso modo per p .
La derivata temporale di $ O_H $ è costituita dalla derivata parziale wrt t dopo il punto e virgola, più la derivata convettiva dovuta al flusso di x e p nellimmagine di Heisenberg, $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ partial O_H} {\ partial p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Dimostralo! A meno che tu non labbia fatto, la discussione è tutta vaporosa.)
La derivata parziale è $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} = e ^ {iHt} \ frac {\ partial O_S} {\ partial t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ partial O_S} {\ partial t} \ right) _H. $$ (Alcuni lo esprimono come $ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} $, confidando che il lettore capirebbe correttamente levidente differenziazione del solo argomento dopo il punto e virgola, ma questa stessa domanda potrebbe renderli pensaci due volte . Ora, per essere sicuri, poiché $ O_S $ ha una derivata convettiva che svanisce, $ dO_S / dt = \ partial O_S / \ partial t $, come sollevato in un commento, quindi questo non è un problema.)
In ogni caso, mettendo insieme i due pezzi si ottiene il convenzionale $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. $$
Monitorare il comportamento evidente di un semplice osservabile come $ O_S = tx $ nello SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, il celebre rigido rotazione di tipo classico nello spazio delle fasi, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; quindi $ O_H = tx (t) $. Quindi $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: ora apprezzate le efficienze e le differenze delle rispettive immagini. (Ad esempio $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ con la notazione della mappa ad dei fisici “abituale evitamento del matematico”.)
Potresti orientarti in base a pensando allimmagine S come cornice euleriana e allimmagine H come cornice lagrangiana in movimento.