Il teorema di Feynman-Kac afferma che per un processo Ito della forma $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ esiste una funzione misurabile $ g $ tale che $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ con una condizione al contorno appropriata $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Sappiamo anche che $ g (t, x) $ ha la forma $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Ciò significa che posso prezzare unopzione con la funzione di payoff $ h (x) $ a $ T $ risolvendo lequazione differenziale senza riguardo al processo stocastico.
Esiste una spiegazione intuitiva di come sia possibile modellare il comportamento stocastico del processo Ito mediante unequazione differenziale, anche se lequazione differenziale non ha una componente stocastica?
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- Dentro le aspettative, non dovresti ‘ mettere $ h (X_T) $ al posto di $ h (X_t) $ ?
Risposta
Martingale + Markoviano
Ecco la motivazione. Le aspettative condizionali sono martingala dalla proprietà torre delle aspettative condizionali (un esercizio facile da mostrare). Supponiamo che $ r = 0 $, per il teorema dei prezzi neutri al rischio $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ è il prezzo di qualsiasi derivato titolo con $ X $ come attività sottostante e funzione di guadagno $ h $ supponendo per il momento che il titolo sottostante e il derivato stesso non paghino flussi di cassa intermedi. In un contesto markoviano, deve essere vero che il prezzo del derivato è una funzione misurabile del prezzo corrente dellasset e solo del tempo alla scadenza, diciamo una funzione $ g (t, x) $. Quindi, per il lemma di Ito $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Poiché $ g $ è una martingala (spostata), il termine di deriva deve essere uguale a zero . la condizione al contorno non deriva da alcun arbitraggio, osservalo notando cosè $ g (T, x) $ dalla definizione data allinizio (ricorda la misurabilità quando prendi laspettativa condizionale).
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- Grazie. Che cosè $ \ mathscr {F} _t $?
- È unalgebra sigma di un filtro. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – complimenta abbastanza bene la mia risposta +1
- @Raphael – pensa solo a $ \ mathscr F_t $ come informazione disponibile fino allora $ t $. La barra verticale indica ” data ” in modo che quando scrivi quellaspettativa qualsiasi cosa prima di quel momento, ‘ non ti stai affatto aspettando e può uscire allo stesso modo di una costante. Come $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Cè una spiegazione relativamente buona dellaspettativa condizionale in questo libro.
Risposta
Il teorema di Feynman-Kac ha senso principalmente in un contesto di prezzo. Se sai che qualche funzione risolve lequazione di Feynman-Kac puoi rappresentarla come unaspettativa rispetto al processo. ( conferisci questo documento )
Daltra parte, una funzione di determinazione del prezzo risolve lFK-PDE. Così spesso si prova a risolvere la PDE per ottenere una formula di determinazione del prezzo in forma chiusa. ( conferisce questo documento che inizia con pagina 22 )
Non useresti Feynman-Kac per simulare un processo stocastico. Daltra parte puoi usare un processo stocastico per trovare una soluzione al FK-PDE ( vedi qui )
Modifica 26.02.2014: ho trovato un documento che cerca di spiegare la connessione tra la densità di transizione e FK-PD ( vedi qui a partire da pagina 5 )
Inoltre esiste una connessione tra la Formula FK e le equazioni di Sturm-Liouville che può essere utilizzata per la scomposizione dei sentieri browniani. ( vedi questo documento )
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- Grazie per i link! Il tuo post spiega diverse applicazioni e usi del teorema di Feynman-Kac. Il mio interesse principale a questo punto è capire perché il teorema è vero, cioè lintuizione dietro il teorema.
- Suggerirei la dimostrazione qui: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula La lettura delle dimostrazioni spesso aiuta a capire come nasce un teorema. O sei interessato a una spiegazione dal punto di vista di Phyiscs?
Risposta
Il modo in cui penso è che la PDE descrive il flusso di una distribuzione di probabilità dipendente dal tempo. Il processo stocastico descrive le singole realizzazioni (passeggiate casuali con una deriva), ma se ne eseguissi un gran numero avresti costruito una distribuzione.
La PDE dice come quella distribuzione cambia nel tempo (primo termine) a causa della deriva deterministica (il secondo termine) e della diffusione (il terzo termine, che è il collegamento tra “molti camminatori casuali” e la diffusione distribuzione di probabilità che descrive quanto lontano sono arrivati, in media). Di solito la distribuzione di probabilità inizia come una funzione delta a causa della condizione iniziale nota.
Commenti
- Sono un po confuso. Abbiamo la PDE della funzione di prezzo $ g (t, x) $ a parte la deriva e la volatilità non ci sono molte informazioni che puoi raccogliere dallFK-PDE rispetto alla distribuzione
Risposta
Affrontiamo questa risposta in due passaggi.
Innanzitutto, Trovo abbastanza intuitivo che per una data PDE stocastica esista una PDE deterministica che evolve la densità in un momento successivo. Questa equazione è lequazione di Kolmogorov in avanti o di Fokker-Plank. Perché è intuitivo? Si conosce anche la distribuzione futura di un moto browniano (per definizione), perché questo dovrebbe cambiare per un termine stocastico più complesso?
Secondo, una volta ottenuta lequazione in avanti, è una questione di matematica anche derivarne una versione invertita nel tempo. Questa è lequazione di Feynman-Kac e propaga una distribuzione allindietro nel tempo.