Quindi in $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ abbiamo il prodotto interno di Frobenius data da $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
che può essere interpretato come il prodotto interno euclideo su $ {\ bf R} ^ {np } $. La mia comprensione è che tutti i prodotti interni su $ {\ bf R} ^ {np} $ possono essere scritti come $$ a ^ TPb $$ per $ P $ a definizione positiva. Il meglio che ho potuto fare nel tentativo di estendere il prodotto interno di Frobenius su $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ è qualcosa della forma $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ per $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $ e $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ all full rank. Tuttavia vorrei sapere se questo copre tutti i prodotti interni su $ {\ bf R} ^ {np} $, o se forse è più complesso del necessario a causa delle ridondanze.
Posso trovare il matrice $ P $ corrispondente per qualsiasi prodotto interno della matrice specifica prendendo la base standard per $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ e formando la matrice
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
ma non so se la forma generale per un prodotto interno di matrice che ho dato sopra copre tutte le matrici definite positive $ P $.
Aggiornamento:
versione più recente di questa domanda su MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Commenti
- Benvenuto in SciComp.SE! Questa è una domanda interessante, ma sembra molto più appropriata per math.stackexchange.com . (A meno che ‘ non sia presente una connessione a un problema di scienza computazionale che ‘ non sia, nel qual caso ‘ sarebbe fantastico se potessi aggiungerlo.)
- @ChristianClason, ‘ è correlato allottimizzazione su varietà di matrici con metriche Riemanniane, poiché Riemannian le metriche sono prodotti interni nello spazio tangente. ‘ è quasi certamente troppo avanzato per Math.SE, lunico altro posto appropriato sarebbe MathOverflow. In realtà potrei aver trovato quella che penso sia una soluzione che potrei pubblicare come risposta una volta che avrò fatto il lavoro disordinato di dimostrare che è una soluzione, ma se ‘ vorresti migrare questo a MathOverflow ‘ mi va bene. ‘ aggiungerò il contesto di ottimizzazione quando ne avrò la possibilità.
- Anche la matrice $ P $ deve essere simmetrica, non solo definita positiva.
- @WolfgangBangerth, definizione positiva è intesa come simmetrica.
- Non per tutti gli autori la definizione positiva implica simmetria.
Risposta
Puoi vedere un prodotto interno come unoperazione $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, ovvero è una funzione bilineare che (i) restituisce un numero non negativo, (ii) soddisfa la relazione $ f (a, b) = f (b, a) $.
Per i vettori $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $, tutte le funzioni bilineari che soddisfano queste proprietà possono essere scritte come $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ dove $ P $ è simmetrica e definita positiva. Per le matrici $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ times p} $, tutte queste funzioni possono essere scritte come $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ dove ora $ P $ è un tensore di rango 4 che è simmetrico nel senso che $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ e positivo definito nel senso che $ f (a, a) > 0 $ per tutti $ a \ neq 0 $.
La tua domanda si riduce a se ogni $ P $ che soddisfa tali condizioni può essere scritta una forma che risulta dai vettori $ X_i, Y_i $. Credo che la risposta a questa domanda sia no. Questo è semplicemente così perché (per semplicità assumendo $ n = p $) $ P $ simmetrico ha (asintoticamente) $ n ^ 4/2 $ gradi di libertà, mentre i $ n $ vettori $ X_i, Y_i $ hanno solo $ 2n ^ 2 $ gradi di libertà. In altre parole, non penso che per $ n $ sufficientemente grandi il tuo approccio abbia molti gradi di libertà sufficienti.
Commenti
- I in realtà credo che la risposta sia sì, ‘ ripubblicherò questa domanda sulleccesso di matematica con i miei risultati aggiornati.
- Sì, la tua tesi secondo cui il numero di parametri aumenta in modo quadratico nello spazio del prodotto interno del vettore mentre solo quadraticamente nello spazio del prodotto interno della matrice è convincente, tuttavia poiché lo spazio è in definitiva finito, dovremmo essere in grado di superare questo problema aumentando $ N $ in modo appropriato.
- Le mie scuse ho pubblicato una versione più recente di questa domanda su MathOverflow, tuttavia è ‘ sufficientemente aggiornata Ho pensato che fosse appropriato, ecco il link nel caso lo desideri per trasferire la tua risposta laggiù o aggiornare la tua risposta in base alla versione più recente. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Nota che @ ChristianClason ha consigliato di pubblicare la tua domanda su math.stackexchange.com, non su mathoverflow.net. Questi sono due siti diversi con scopi e pubblico diversi.
- @FedericoPoloni sì, lo so, e se hai letto quello che ho scritto gli ho detto che pensavo fosse troppo avanzato per Math.SE e difficilmente lo otterresti una risposta lì.