Fionda gravitazionale massima

Si può ottenere una stima dellordine di grandezza della velocità massima raggiungibile dalle fionde gravitazionali senza fare alcun calcolo reale.

Il ragionamento “fisica approssimativa” è il seguente:

Il campo gravitazionale dei pianeti usati per le fionde deve essere abbastanza forte da “afferrare” lastronave in corsa. Poiché un pianeta non può “afferrare” unastronave che si muove più velocemente della velocità di fuga del pianeta, è impossibile lanciare unastronave a velocità oltre le velocità di fuga planetarie.

Quindi non importa quanto spesso i nostri solari “s” i pianeti del sistema si allineano e non importa quanto spesso riesci a tirare fuori una fionda gravitazionale perfetta, sei praticamente limitato a velocità che non superano allincirca la velocità massima di fuga nel sistema solare (cioè 80 km / so 0,027% della velocità della luce , la velocità di fuga di Giove).

(Nota: lavorando con traiettorie ben definite è possibile affinare largomento precedente e ottenere tutti i fattori numerici corretti.)

Commenti

• Non dovrei essere daccordo con te. Se incontrassi un corpo celeste dallangolo retto, saresti comunque in grado di guadagnare la sua velocità orbitale una volta quando avresti uneccentricità di 1,4142, il che significa che supera la velocità di fuga. O ti riferisci al fatto che la velocità in eccesso iperbolica è uguale alla velocità di fuga (che significherebbe uneccentricità di 3), ma ciò consentirebbe comunque un guadagno di circa il 40% della velocità orbitale. Diminuisce, ma penso sia ancora significativo.
• @fibonatic – Stai discutendo di fattori $ 1,4 $ in un ordine di grandezza stimato?
• 1,4 non è un ordine di grandezza inferiore neanche.

Più veloce vai, minore è la velocità che teoricamente puoi guadagnare da un assist di gravità.

Il motivo è che più velocemente vai più difficile è piegare lorbita. Per dimostrarlo dobbiamo usare lapprossimazione delle coniche patchate , il che significa che mentre si trova allinterno di una sfera orbite di Kepler può essere utilizzato. La sfera può essere semplificata per essere infinitamente grande, poiché la flessione della conica effettiva rattoppata difficilmente ne sarà influenzata. Mentre leccentricità è bassa (uguale o maggiore di uno, poiché dovrà essere una traiettoria di fuga) la traiettoria potrà essere piegata di 360 ° invertendo efficacemente la velocità relativa della navicella spaziale con il corpo celeste, quindi il cambiamento in la velocità sarebbe il doppio di quella relativa, che è anche il guadagno massimo teorico. Quando leccentricità aumenta, questo angolo diminuisce. Questo angolo può essere derivato dalla seguente equazione:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

dove $ r $ è la distanza dalla sonda al centro di massa del corpo celeste, $ a $ è il semiasse maggiore, $ e $ è leccentricità e $ \ theta $ è la vera anomalia.Il semiasse maggiore e leccentricità dovrebbero rimanere costanti durante la traiettoria, quindi il raggio sarebbe solo una funzione della vera anomalia che è per definizione uguale a zero al periasse e quindi la quantità massima di flessione sarà circa il doppio della vera anomalia a $ r = \ infty $, che significa

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Quando leccentricità diventa molto alta, questo angolo diventerà 180 °, il che significa che la traiettoria è fondamentalmente una linea retta.

Esistono diversi modi per modificare leccentricità. In questo caso le variabili rilevanti sarebbero:

• La eccesso di velocità iperbolico , $ v_ \ infty $, che sarà uguale alla velocità relativa alla quale la navicella “incontra” il corpo celeste, con questo intendo che la sfera dei corpi celesti è molto piccola rispetto alla scala delle orbite dei corpi celesti attorno al sole, quindi la velocità relativa può essere approssimato con la differenza di velocità orbitale rispetto al sole, approssimato con unorbita di Keplero in un incontro tra i due quando si utilizza una traiettoria che ignora linterazione tra di loro.
• Laltezza del periapsis , $ r_p $, che è sostanzialmente limitato dal raggio del corpo celeste (superficie o atmosfera esterna).
• Il parametro gravitazionale del corpo celeste, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

Il parametro gravitazionale è solo un dato per as corpo celeste specifico, poiché è desiderabile uneccentricità inferiore, quindi il periasse dovrebbe essere impostato sul suo limite inferiore, il raggio del corpo celeste. In questo modo leccentricità è solo una funzione delleccesso di velocità iperbolico e quindi della velocità relativa del veicolo spaziale con il corpo celeste.

Usando un po più di matematica si può mostrare quale sarebbe il cambiamento di velocità dopo un tale assist di gravità ravvicinata. Per questo utilizzo un sistema di coordinate con un vettore unitario parallelo alla direzione della velocità di incontro relativa, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $, e un vettore unitario perpendicolare, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ destra) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Quando si traccia questi valori per la Terra, quindi $ \ mu = 3.986004 \ times 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ e $ r_p = 6.381 \ times 10 ^ { 6} m $ (ho utilizzato il raggio equatoriale più laltitudine alla quale leffetto atmosferico può essere trascurato, 300 km), si otterrebbero i seguenti risultati:

Se vuoi Per una velocità più alta possibile, allora vuoi che questo cambiamento di velocità sia nella direzione della tua velocità intorno al sole. Se hai abbastanza tempo e lorbita è abbastanza eccentrica da attraversare più orbite di corpi celesti, allora ci sono molte possibilità, ma non appena hai una traiettoria di fuga dal sole praticamente passi da ogni corpo celeste al massimo uno in più tempo.

Se vuoi solo ottenere la massima velocità possibile, potresti voler avvicinarti al sole in unorbita altamente eccentrica, poiché la sua “superficie” velocità di fuga è $ 617,7 \ frac {km} {s} $.

Commenti

• Ciao fibonatic, grazie per la risposta . Ho aggiornato la domanda con dati aggiuntivi, poiché ho capito che per fare il calcolo hai bisogno solo del raggio del pianeta, del peso e della velocità iniziale, se hai bisogno di più dati fammi sapere che lo prenderò per te.
• Quindi la fionda gravitazionale massima che potremmo ottenere sarebbe 0,002 velocità della luce google.co.uk/… che ci porterebbe 2000 anni per arrivare ad Alpha Centauri google.co.uk/… Grazie per lottima risposta.
• @MatasVaitkevicius No, poiché a 0.002 c vicino alla superficie del sole avresti una velocità di zero infinitamente lontano dal sole, oppure quando oltrepassi lorbita di Nettuno saresti stato rallentato a 7,7 km / s.

State tutti pensando troppo a questo. Leffetto fionda riguarda il quadro di riferimento. Rispetto al corpo a cui ci si sta avvicinando, laumento della velocità di ingresso deve essere uguale alla diminuzione della velocità di uscita o si violano semplici leggi della fisica (es. Gravitazione). Dalla prospettiva del sistema solare avrai un netto aumento di velocità se ti avvicini a un pianeta dalla giusta direzione, altrimenti avrai un netto calo della velocità dopo essere uscito.Laumento teorico della velocità massima in uscita è quindi funzione della velocità del corpo ospite (fionda) nel sistema di riferimento e del vettore di avvicinamento.