Qual è la forma più generale per lequazione delle onde? È $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Ad esempio, $ \ frac {\ parziale ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ essere unequazione donda? Se sì, qual è la soluzione in questo caso.
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Non sono sicuro di cosa intendi per $ cte $ , ma presumo che sia una costante ma potrei interpretare male
Parliamo spesso di due classi di equazioni differenziali, omogenee e disomogenee. Questa distinzione è la radice della tua domanda, \ begin {equation } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {equation} è la forma omogenea dellequazione delle onde, mentre \ begin {equation} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {equation} è lequazione donda disomogenea ($ u (\ vec {r}, t) $ può anche essere costante se vogliamo). Un esempio è che la radiazione elettromagnetica in presenza di cariche e correnti è governata dallequazione delle onde disomogenea, la forma omogenea è valida solo quando $ \ rho = 0 $ e $ \ vec {J} = 0 $. A seconda di chi chiedi, penso che la maggior parte delle persone direbbe ancora il inhom Lequazione delle onde genetiche è unequazione delle onde, ma questa è a piacere poiché le sue soluzioni possono finire per avere un carattere molto diverso da quelle omogenee.
In generale non cè molto che posso dire riguardo a queste soluzioni poiché “dipenderanno molto dalla forma di $ u $, anche se” sono sicuro che alcuni googling ti forniranno molti esempi.
Commenti
- Perfetto. E che dire dellequazione delle onde smorzate? Qual è la sua forma?
Risposta
Mason gestiva la distinzione tra equazioni differenziali disomogenee e omogenee, ma se una sta parlando della forma più generale possibile dellequazione delle onde, è,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
dove entrambi i campi sono tensori di rango $ (m, n) $, su cui agisce loperatore di Laplace-Beltrami $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ la cui azione sui tensori dipende sia dalla metrica che dal loro rango. Per un campo scalare con metrica $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, si riduce alla forma più familiare dellequazione delle onde, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Quanto sopra può anche essere riformulato nel linguaggio delle forme differenziali.)
Tuttavia, in un certo senso questo non copre tutte le possibilità. Ad esempio, nella relatività generale, per una perturbazione $ h_ {ab} $ della metrica, la variazione del primo ordine nella curvatura è,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
che è inteso come “operatore donda” nello spazio curvo in letteratura perché certamente ammette soluzioni donda ma chiaramente non è equivalente allequazione donda sopra in quanto contiene altri termini che coinvolgono i tensori di curvatura. Quindi, la “forma più generale” dellequazione delle onde non è qualcosa che possiamo veramente scrivere, a meno che la tua idea non sia strettamente $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
