Il modo migliore per imparare la trigonometria

Gli schemi di Schaum sono molto pratici in generale ed economici. Ben si adattano a uno studente più anziano. Spesso il le risposte sono subito dopo i problemi rispetto alla fine. E ottieni tutte le risposte, non le gyp dispari / pari. Quindi adatto allautoapprendimento.

Mi piace questo, nel complesso, e lo possiedo: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

È degli anni 60, quindi la lingua non è arcaica, ma non lo è “nuovo”. Non sono sicuro di quale vantaggio oltre alla lingua desideri dalle versioni più recenti, ma se ne vuoi una più recente, hanno una recente quarta edizione College Math che puoi ottenere.

Nota, questo è un pre-calcolo generale prenota (e probabilmente quello che ti serve). Ma se vuoi solo un trigonometrico, Schaum “s ha anche quello. Ovviamente più problemi trigonometrici nel libro trigonometrico rispetto al libro precalc (che include tutti i normali corsi delle scuole superiori).

Ps Sarebbe sarebbe più facile consigliarti se ci avessi detto quali libri ti hanno deluso. Come ho scritto invano una lunga risposta?

Pss Non sono sicuro del motivo per cui trig è così un ostacolo per le persone. Ma consiglio di pensare prima al peccato e al cos e così via nel contesto del cerchio unitario, non ai rapporti dei lati dei triangoli. È solo un concetto un po più semplice e senza un rapporto di cui tenere traccia.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn lo rende un po più complesso qui parlando di rapporti. Ma quando lho imparato il grande vantaggio è stato una primissima introduzione senza rapporti … solo gli assi xey del cerchio unitario.

Commenti

• Grazie per la risposta! E tu ‘ hai ragione, avrei dovuto menzionare quali libri. I 3 libri are Trigonometry, 5a edizione di Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies di Mary Sterling e College Trigonometry di Stitz e Zeager, 2013. I ‘ comincerò precalc alluniversità una volta che lestate finisce e io ‘ sono sicuro che ‘ mi sentirò a mio agio con trig abbastanza presto. Spero solo di imparare abbastanza in il tempo medio così finisco il mio primo corso senza troppi dossi lungo la strada.
• Assicurati di lavorare con molti problemi. Potresti sentire ” ‘ non capirlo “. Ma se lavori a grandi quantità di problemi, ti verranno semplicemente incastrati nella testa. E lavorare sui problemi significa coprire la risposta, risolvere il problema fino in fondo. Controllo della tua risposta. Ripetendo (interamente) eventuali problemi persi da zero (anche per stupidi errori di segno). Trattalo come un allenamento fisico per uno sport o come imparare uno strumento musicale. Sii diligente.
• @RustyCore Giusto per essere chiari, ‘ mi trasferisco da un college locale. Quello che mi sono laureato al college non aveva niente a che fare con la matematica e aveva pochissimi requisiti di matematica, quindi la mia prima lezione di matematica alluniversità era precalc.
• @guest, ho capito. Ma penso che Rusty fosse presuntuoso e scortese. ‘ sono pienamente consapevole che ottenere questa laurea sarà probabilmente il momento più impegnativo e stressante della mia vita, ma non ‘ davvero per escludermi da esso solo perché ‘ sto avendo difficoltà con un argomento. La maggior parte delle persone lascia e dice che ‘ non è un matematico quando si trova di fronte a un blocco stradale e si esclude immediatamente da ulteriori calcoli o dalle nozioni di base di cui ha bisogno di un aggiornamento. ‘ sto cercando di evitarlo perché lho fatto esattamente negli anni precedenti.
• @Lex_i, sembri uno studente maturo e ho avuto molti studenti come te che eccelli. Spero che le tue avventure in matematica ti portino gioia.

Forse un approccio visivo potrebbe integrare il tuo studio? Ci sono molte di queste risorse disponibili sul web, non nei libri di testo. Ad esempio, Trig Intuitively :

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          ^{Nota: le etichette mostrano dove ogni elemento “va fino a . ”}

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Un altro: Interactive Unit Circle . Un altro: Funzioni trigonometriche inverse .

Commenti

• it ‘ un diagramma utile. Vorrei aggiungere una dichiarazione di non responsabilità che viene utilizzato il concetto di triangoli simili, al fine di evitare confusione.
• Penso che il diagramma sarebbe più utile se mostrasse langolo e di cosa sono una funzione tutte le funzioni . Sembra che ‘ sia progettato per ricordare ciò che già sai, non per imparare il trigonometrico da zero.
• @JessicaB: primo, non è il mio diagramma: -). 2 °, cè una narrazione che lo accompagna; non è destinato a stare da solo. 3 °, trovo utile vedere, ad esempio, che $ \ sin \ le \ tan $ e $ \ sec \ ge \ tan $ e $ \ tan $ possono essere illimitati, ecc.
• @ JessicaB: PS. Langolo è langolo al centro del cerchio, che purtroppo è quasi invisibile nella mia istantanea.
• @JosephO ‘ Rourke So che non lhai fatto ‘ t disegnarlo. E ora so che langolo è quello al centro, perché conosco trig. Ma quando lho visto per la prima volta mi sono sentito molto confuso perché ‘ non avevo capito la relazione con langolo.

Personalmente preferirei un consiglio da un libro di testo che posso scaricare o ritirare che [preferibilmente] non è vecchio e non non rendere la trigonometria intimidatoria allapproccio (specialmente quella che enfatizza la comprensione delle prove dietro proprietà / teoremi).

Non ho libri di testo da consigliare, ma posso consiglia un approccio eseguendo trigonometria che ne faciliti la comprensione matematica cristallizzando il fondamento logico della trigonometria e struttura algebrica delle espressioni trigonometriche. Esistono due “livelli” a questo, a seconda che tu voglia andare direttamente al compl ex numeri o rimanere allinterno della trigonometria reale. In entrambi i casi, lobiettivo è identificare il nucleo intrinseco della trigonometria e ridurre tutto il resto a quello.

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Trigonometria reale

Le quantità chiave sono $ \ cos (t) $ e $ \ sin (t) $ , che sono i $ x $ e $ y $ coordinate del punto $ P_t $ sulla circonferenza unitaria che sottende un arco di lunghezza $ t $ in senso antiorario dallasse $ x $ , come illustrato nellimmagine da wikipedia :

Qui la lunghezza dellarco è misurata lungo il cerchio unitario e $ π $ è definita come la lunghezza dellarco del semicerchio, quindi $ 2π $ è $ 360 ° $ . (Questo modo di misurare gli angoli è spesso chiamato misurarli in ” radians “, ma personalmente penso che sia un termine non necessario.) Nota che $ P_t = P_ {t + 2πk} $ per qualsiasi numero intero $ k $ , perché $ 2πk $ sarebbe un multiplo intero di round completi. Tieni inoltre presente che laumento di $ t $ sposta $ P_t $ in senso antiorario, mentre diminuendo $ t $ sposta $ P_t $ in senso orario. In relazione a ciò, $ P _ {- t} $ è il riflesso di $ P_t $ attraverso $ x $ -axis.

Nota che i segni di $ \ cos (t) $ e $ \ sin (t) $ corrispondono esattamente ai segni di $ x $ e $ y $ coordinate del punto sul cerchio. (Non ascoltare le persone che ti dicono di memorizzare qualcosa per determinare quale di loro è positivo in quale quadrante.)

E solo per definizione, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ per ogni $ t $ reale. Questo è il primo fatto algebrico chiave .

Successivamente, $ \ tan (t) $ è definito come $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Storicamente, abbiamo anche definito $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ e $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ e $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , ma francamente cè poco vantaggio di averne così tanti quando $ \ cos, \ sin $ è sufficiente.) Ogni volta che desideri semplificare qualsiasi espressione trigonometrica che coinvolga $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , probabilmente dovresti eseguire la tecnica matematica standard di riscrittura in forma canonica , che in questo caso significa riscrittura in termini di $ \ cos, \ sin $ da soli, mentre prendendo nota di dove lespressione originale non è definita (ad esempio, $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ per qualsiasi $ t $ solo quando $ t $ non è un multiplo di $ π $ ).

Gli altri fatti algebrici chiave derivano dal considerare le matrici di rotazione applicate ai vettori. (Se non hai familiarità con le matrici come operatori sui vettori, leggi prima questo . Per unintroduzione ai vettori nello spazio euclideo, consulta qui .) Sia $ R $ una qualsiasi rotazione intorno allorigine nel piano. Quindi $ R $ soddisfa tre proprietà:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ per qualsiasi vettore $ u, v $ (cioè sommando due vettori e ruotando il risultato si ottiene lo stesso risultato di una rotazione i due vettori prima di sommarli).
2. Se $ R, S $ sono rotazioni in senso antiorario di angoli $ t, u $ rispettivamente, quindi $ R∘S $ è una rotazione in senso antiorario dellangolo $ t + u $ .
3. Se $ R $ è una rotazione in senso antiorario dellangolo $ t $ , quindi:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ per qualsiasi $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ per qualsiasi $ y $ .

Possiamo prendere queste proprietà come assiomi (ipotesi) sulle rotazioni. Dopotutto, se $ R $ non li soddisfa, non chiameremo $ R $ una rotazione a iniziare con. Per capire perché, la proprietà (1) cattura lintuizione che la rotazione di due aste collegate ruoterà entrambe le aste dellangolo di rotazione preservando il punto in cui si connettono. La proprietà (2) è necessaria solo insieme alla proprietà (3). La proprietà (3a) segue dalla definizione di $ \ cos, \ sin $ e la proprietà (3b) segue dalla stessa definizione ruotata $ 90 ° $ in senso antiorario.

Le proprietà (1) e (3) producono la forma di matrice di una rotazione 2d:

Se $ R $ è una rotazione in senso antiorario dellangolo $ t $ , quindi $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

E quindi utilizzando la proprietà (2) abbiamo ottieni:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ per qualsiasi valore reale $ t, u $ .

Moltiplicando il prodotto della matrice a destra e confrontandolo con la matrice a sinistra si ottiene immediatamente langolo- identità somma:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ per qualsiasi valore reale $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ per qualsiasi valore reale $ t, u $ .

Ogni volta che desideri semplificare espressioni che coinvolgono funzioni trigonometriche su somme di angoli, dovresti considerare lutilizzo di queste identità per ridurre lespressione in termini di $ \ cos, \ sin $ del minor numero di angoli possibile.

In effetti, tutti i trigonometrici i identità che coinvolgono solo operazioni aritmetiche e funzioni trigonometriche possono essere dimostrate utilizzando solo le definizioni di cui sopra e fatti algebrici chiave. Un po curioso, anche le proprietà di simmetria possono essere dimostrate algebricamente come segue.

Dato qualsiasi $ t $ reale:

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [somma-angolo]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [somma degli angoli]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Passando allanalisi reale, avremmo bisogno dei seguenti fatti, che per ora possono essere presi come assiomi (e giustificati separatamente in seguito):

1. $ \ sin “= \ cos $ .
2. $ \ cos “= – \ sin $ .

Come prima, tutto ca n essere ridotto a questi, quindi non cè reale bisogno di memorizzare altro (anche se può essere conveniente farlo).

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Trigonometria complessa

Personalmente, Penso che sia meglio passare direttamente alle funzioni trigonometriche a valori complessi, se si desidera una base completa e rigorosa per il campo matematico dell analisi . Uno definisce semplicemente: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ per ogni $ z $ complesso (dopo dimostrando che la somma converge).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ è il doppio della prima radice positiva di $ \ cos $ ( dopo aver dimostrato che esiste).

La motivazione è che vogliamo $ \ exp: \ cc → \ cc $ tale che $ \ exp “= \ exp $ e $ \ exp (0) = 1 $ , per essere in grado di risolvere equazioni differenziali lineari generali, e vogliamo $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ tale che $ \ cos “” = – \ cos $ e $ \ sin “” = – \ sin $ e $ ⟨\ cos (0), \ cos “(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ e $ ⟨\ sin (0 ), \ sin “(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , per essere in grado di risolvere un semplice movimento armonico, e lespansione di Taylor ci porta alle definizioni precedenti per $ \ exp, \ cos, \ sin $ , che possiamo dimostrare di convergere sullintero piano complesso. La definizione precedente di $ π $ è la più semplice che io sappia che non dipende da nessuna geometria. (Per maggiori dettagli su questa motivazione, vedi questo post .)

Basti dire che con queste definizioni, possiamo dimostrare mediante analisi di base che $ \ exp, \ cos, \ sin $ soddisfano le proprietà motivanti desiderate nonché unaltra proprietà chiave di $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ per qualsiasi complesso $ z, w $ .

Usando questa proprietà, possiamo provare tutte le identità trigonometriche tramite la sola manipolazione algebrica (e valgono per variabili complesse e non solo variabili reali).

Ad esempio, dato qualsiasi $ z $ complesso:

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Tuttavia, spesso è ancora più facile iniziare dimostrare gli stessi fatti algebrici chiave per $ \ cos, \ sin $ e poi usarli per dimostrare altre identità, piuttosto che ridurre tutto a $ \ exp $ .

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