Il principio di Hamilton '

Le note della settimana 1 di Il corso di John Baez in meccanica lagrangiana fornisce alcune informazioni sulle motivazioni dei principi dellazione.

Lidea è che la minima azione potrebbe essere considerata unestensione del principio del lavoro virtuale. Quando un oggetto è in equilibrio, non ci vuole lavoro per fare un piccolo spostamento arbitrario su di esso, i. e. il prodotto scalare di ogni piccolo vettore di spostamento e la forza è zero (in questo caso perché la forza stessa è zero).

Quando un oggetto sta accelerando, se aggiungiamo una “forza inerziale” uguale a $ \, – ma \, $ , quindi un piccolo, arbitrario, spostamento dipendente dal tempo dalla traiettoria vera delloggetto avrebbe di nuovo un prodotto di zero punti con $ \, F-ma, \, $ la vera forza e la forza inerziale aggiunte. Questo dà

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

Da lì, alcuni calcoli trovati nelle note portano allintegrale dellazione stazionaria.

Baez discute di RE “Alembert più di Hamilton, ma in entrambi i casi è uno sguardo interessante alle origini dellidea.

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• Nota che il principio del lavoro virtuale si chiama D ‘ Principio di Alembert: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Esiste anche lapproccio di Feynman, ovvero la minima azione è vera classicamente solo perché è vera meccanicamente quantistica, e la fisica classica è meglio considerata come unapprossimazione dellapproccio quantistico sottostante. Vedere http://www.worldscibooks.com/physics/5852.html o http://www.eftaylor.com/pub/call_action.htm l.

Fondamentalmente, il tutto è riassunto in poche parole in R ichard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Reading, MA, 1964), vol. II, cap. 19. (Penso, per favore correggimi se sbaglio qui). Lidea fondamentale è che lintegrale dellazione definisce lampiezza meccanica quantistica per la posizione della particella, e lampiezza è stabile agli effetti di interferenza (-> ha probabilità di accadimento diversa da zero) solo in corrispondenza degli estremi o dei punti di sella dellintegrale dellazione. La particella esplora davvero tutti i percorsi alternativi in modo probabilistico.

Probabilmente vorrai comunque leggere le lezioni di fisica di Feynman, quindi potresti come bene inizia ora. 🙂

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• Le lezioni di Feynman ‘ di fisica sono buone, ma è meglio leggerle dopo di aver appreso adeguatamente largomento, al fine di fornire nuove / ulteriori informazioni, credo.

Come puoi vedere dallimmagine sottostante, vuoi che la variazione dellintegrale dellazione sia minima, quindi $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ deve essere $ 0 $. Altrimenti, non stai prendendo il vero percorso tra $ q_ {t_ {1}} $ e $ q_ {t_ {2}} $ ma un percorso leggermente più lungo. Tuttavia, anche seguendo $ \ delta S = 0 $, come sai, potresti ritrovarti con un altro estremo.

Seguendo il collegamento da jc, puoi trovare On a General Method on Dynamics , che probabilmente risponde alla tua domanda sul ragionamento di Hamilton. Non ho letto ma quasi sicuramente ne vale la pena.

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• Questa sembra una risposta tautologica in quanto è precisamente Hamilton ‘ il principio che viene utilizzato per arrivare allimmagine sopra in primo luogo.
• Forse ti è stato insegnato il principio di Hamilton ‘ e sei arrivato a quello immagine come spiegazione, ma limmagine è perfettamente generale. Descrive la variazione di una funzione con punti finali fissi.

In genere racconto che il principio di azione è un altro modo per ottenere le stesse equazioni differenziali – quindi a livello di meccanica, i due sono equivalenti. Tuttavia, quando si parla di teoria quantistica dei campi, la descrizione in termini di integrali di percorso sullazione esponenziale è essenziale quando si considerano gli effetti istantanei. Così alla fine si scopre che la formulazione in termini di azioni è più fondamentale e fisicamente più sana.

Tuttavia, le persone non hanno la “sensazione” dellazione nel modo in cui provano lenergia.

Ricordiamo che le equazioni del moto con iniziale condizioni $ q (0), (dq / dt) (0) $ sono state avanzate per prime e il principio di minima azione è stato formulato successivamente, come una sequenza. Sebbene sia bello ed elegante matematicamente, il Il principio di minima azione utilizza una condizione futura, “limite” $ q (t_2) $, che è fisicamente sconosciuto. Non esiste un principio di minima azione che opera solo con le condizioni iniziali.

Inoltre, è implicito che il le equazioni hanno soluzioni fisiche. Questo è così nella meccanica classica ma è sbagliato nellelettrodinamica classica. Quindi, anche derivate dal “principio” formalmente corretto, le equazioni possono essere sbagliate a livello fisico e matematico. rispetto, formulare le giuste equazioni fisiche è un compito più fondamentale per i fisici che affidarsi a qualche “principio” per ottenere equazioni “automaticamente”. Siamo noi fisici che siamo responsabili della formulazione corretta delle equazioni.

In CED, QED e QFT si devono “riparare in movimento” le soluzioni sbagliate solo perché la fisica è stata indovinata e inizialmente implementata in modo errato.

PS Vorrei mostrare come in realtà il sistema “sceglie” la sua traiettoria: se a $ t = 0 $ la particella ha una quantità di moto $ p (t) $, alla prossima volta $ t + dt $ ha la quantità di moto $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Questo incremento è abbastanza locale nel tempo, è determinato dal valore della forza attuale $ F (t) $, quindi nessuna futura condizione “limite” può determinarlo. La traiettoria non è “scelta” da quelle virtuali; è “disegnato” dai valori istantanei di forza, coordinate e velocità.

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• Mi piace pensare che entrambe le opzioni siano semplicemente matematiche modelli e quindi nessuno è più reale. Né il sistema sceglie la sua traiettoria né il futuro determina il percorso minimo di azione. La non località di QM porta a dubbi simili.
• Sorprendentemente, ora esiste un principio di minima azione che funziona solo con le condizioni iniziali! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Ecco un versione arXiv . Senza leggere larticolo in dettaglio, odora di un classico formalismo di Keldysh , cfr. questo e questo Phys.SE post.

Invece di specificare la posizione iniziale e lo slancio proprio come abbiamo fatto nel formalismo di Newton, riformuliamo la nostra domanda come segue:

Se scegliamo di specificare le posizioni iniziale e finale: $ \ textbf {Quale percorso prende la particella?} $

Let” s asseriamo che possiamo recuperare il formalismo di Newton con il seguente formalismo, il cosiddetto formalismo lagrangiano o principio hamiltoniano.

Ad ogni percorso illustrato nella figura sopra, assegniamo un numero che chiamiamo azione

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

dove questo integrando è la differenza tra lenergia cinetica e lenergia potenziale.

$ \ textbf {Principio di Hamilton “afferma} $: Il vero percorso intrapreso dalla particella è un estremo di S.

$ \ textbf {Prova:} $

1. Modifica leggermente il percorso:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Mantieni fissi i punti finali del percorso :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3.Prendi la variazione dellazione $ S $:

infine, otterrai

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

La condizione per cui il percorso da cui siamo partiti è un estremo dellazione è

$$ \ delta S = 0 $$

che dovrebbe valere per tutte le modifiche $ \ delta \ vec {r} (t) $ apportate al percorso. Lunico modo in cui ciò può accadere è se lespressione in $ [\ cdots] $ è zero.Ciò significa

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Ora lo riconosciamo come $ \ textbf {equazioni di Newton} $. Richiedere che lazione sia estrema equivale a richiedere che il percorso obbedisca alle equazioni di Newton.

Per maggiori dettagli potresti leggere questa lezione in pdf.

Spero che aiuti.

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• Se vediamo una particella costretta a muoversi su una sfera, arriviamo ai percorsi uno è un massimo o un minimo. Sento che una particella segue il percorso di minima azione ma lequazione matematica δS = 0 ci dà una risposta ambigua, ma una certa parte di questa risposta contiene un percorso di minima azione in essa. Puoi vedere Arfken e Weber.