In termini semplici: quali sono le implicazioni delle preferenze dei consumatori omotetici e non omotetici?

Da un punto di vista matematico, se la funzione $ f (x, y) $ è omogenea (di qualsiasi grado) e $ g ( ) $ è una funzione la cui derivata prima è ovunque diversa da zero, quindi la funzione

$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$

è omotetico. In economia, di solito imponiamo qualcosa di più restrittivo, vale a dire che $ g “> 0 $. Ma questo rende una funzione omotetica una trasformazione monotona di una funzione omogenea. Ora, le funzioni omogenee sono un sottoinsieme rigoroso di funzioni omotetiche: non tutte le funzioni omotetiche sono omogenee.

Pertanto, non tutte le trasformazioni monotone conservano la proprietà di omogeneità di una funzione di utilità . Lesempio più semplice è lutilità Cobb-Douglas. È omogeneo di primo grado. In un quadro di utilità ordinale, siamo daccordo con le trasformazioni monotone, quindi possiamo considerarne il logaritmo naturale. Va bene, ma il logaritmo naturale non manterrà lomogeneità. Tuttavia sarà omotetico.

La proprietà fondamentale di una funzione omotetica è che il suo percorso di espansione è lineare (questa è una proprietà anche di funzioni omogenee, e per fortuna si rivela una proprietà della classe più generale delle funzioni omotetiche).

Nella teoria dei consumi, ciò significa che, mantenendo costanti i prezzi o il rapporto prezzo, se si varia il reddito del consumatore, nel piano $ (x, y) $ il punto di tangenza del vincolo di reddito con la curva di indifferenza più alta possibile rifletterà sempre un rapporto fisso $ x / y $. Ciò a sua volta implica che le spese per ogni bene crescono tutte allo stesso tasso del reddito, e quindi le quote di spesa rimangono costanti per lintera fascia di reddito (sempre per un dato rapporto di prezzo). Anche se questo può sembrare restrittivo, in effetti è stato dimostrato che le preferenze omotetiche non impongono restrizioni speciali su domanda aggregata (essenzialmente dovuta al fatto che il vettore di dotazione è arbitrario e indipendente dalle preferenze, cosa che rovina o libera le cose).

Commenti

• Ottima risposta. Puoi espandere la tua ultima frase, dove dici che le preferenze omotetiche non impongono alcuna restrizione speciale allAD. Con poca conoscenza dellargomento, mi sembra che assumere preferenze omotetiche vada contro levidenza empirica della legge di Engel ' o che lelasticità della domanda al reddito varia a seconda dei beni. Ignorando questa prova, ' non influenzeremmo alcuna ragionevole costruzione di AD?
• @StatsScared Thanks. Hai pubblicato una domanda sullargomento, economics.stackexchange.com/q/10629/61 , che ha già generato risposte interessanti. Se ho qualcosa da aggiungere, lo pubblicherò lì.