Questa domanda può essere un po pigra, ma qualcuno può darmi una prova della formula Hill Sphere? Secondo wikipedia , la formula per il raggio, $ r $, è
$$ r \ approx a (1-e) \ sinistra (\ frac {m} {3M} \ right) ^ {1/3} $$
dove un corpo di massa $ m $ orbita attorno a un corpo di massa $ M $ molto più massiccio con un semiasse maggiore $ a $ ed eccentricità $ e $.
Commenti
- Guarda lintroduzione in questo documento .
- Posiziona una massa di prova tra due masse, presumi che lorigine sia nella massa più grande e calcola dove le magnitudini di entrambe le forze sono uguali?
- @Dave che ‘ è un articolo davvero interessante (‘ avevo pianificato di fare qualcosa oggi, ma ora …) e Sono sicuro che ‘ sia presente; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ e ” unità di lunghezza vengono ridimensionate in base al fattore µ $ {} ^ { 1/3} $ ” ma ‘ non vedo come ottenere il (1- e ) in primo piano così facilmente.
- Perché a (1-e) è periastron?
- Sembra che ‘ abbiano effettivamente aggiunto una derivazione alla pagina di wikipedia – è interessante notare che qualcosa non menzionato nella pagina di wikipedia è che questa superficie non è sferica, si riferisce a quando una particella in asse viene persa (durante un singolo evento almeno – più eventi non risonanti alla fine rimuovono tutto il materiale allesterno del raggio della collina che lascia una sfera)
Risposta
La sfera della collina è definita in modo leggermente diverso dal lobo di Roche , ma il raggio è approssimato dalla distanza dai punti Lagrange L 1 e L 2 .
Per movimenti circolari con velocità angolare $ \ omega $ attorno allorigine, abbiamo:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Laccelerazione dovuta alla gravità da una massa puntuale su unaltra massa nella posizione $ \ mathbf {r} $ è dato dalla solita legge del quadrato inverso:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Ora considera un sistema a due corpi con masse $ m_1 $ e $ m_2 $ , separati da una distanza $ r $ in orbita attorno al loro comune centro di massa (com) a distanze $ r_1 $ e $ r_2 $ rispettivamente.
sub > 1 < / sub >
Questo è un sistema unidimensionale, quindi possiamo passare dai vettori agli scalari. Dalla definizione del centro di massa, abbiamo:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Per lorbita di $ m_2 $ attorno al centro di massa, equiparando laccelerazione gravitazionale con laccelerazione richiesta per il movimento circolare si ottiene:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
E poi esprimere $ r_2 $ in termini di $ r_1 $ fornisce la terza legge di Keplero:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Successivamente troviamo il distanza dal punto L 1 , dove le forze gravitazionali del primario e del secondario si combinano per fornire laccelerazione richiesta per il movimento circolare.Lequazione dellaccelerazione del movimento circolare con le forze gravitazionali fornisce:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
e sostituendo $ \ omega $ risulta in:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ destra)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ sinistra (r – h \ destra) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Quindi riscrivi questo in termini di rapporto di massa $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ e la distanza relativa $ z = \ frac {h} {r} $ , fornendo:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Questo si traduce in un equazione quintica per $ z $ , che deve essere risolta numericamente poiché le quintiche generali non hanno soluzioni algebriche (io “no farò finta di capire la prova di ciò ).
Purché ci troviamo in una situazione in cui $ m_1 \ gg m_2 $ , che è una buona approssimazione per i pianeti del Sistema Solare, possiamo fare approssimazioni per evitare di risolvere il quintico. In questo caso la sfera di Hill è molto più piccola della separazione tra i due oggetti, il che significa che possiamo approssimare:
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {align} $$
Dove la seconda riga è l approssimazione binomiale . Questo dà:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Riorganizza da risolvere per $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
E poi utilizzando le definizioni di $ z $ e $ q $ questo diventa
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Che è la formula usuale per la dimensione della sfera di Hill.
Per L 2 , il punto di Lagrange si trova oltre il secondario, quindi lequazione della forza gravitazionale e del movimento circolare diventa:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h “\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h” \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h “^ 2} $$
Dove $ h “$ è la distanza dal punto secondario al punto L 2 .
Sostituisci in $ \ o mega $ e riscrittura in termini di $ q $ e $ z “= \ frac {h”} { r} $ fornisce:
$$ 1 + z “\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z” \ right ) ^ {- 2} + qz “^ {- 2} $$
Anche in questo caso viene fornita unequazione quintica per $ z” $ , ma possiamo fare approssimazioni simili al caso di L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 + z “\ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z “\ end {align} $$
Questo dà:
$$ 1 + z” \ approx 1 – 2z ” + qz “^ {- 2} $$
Semplificare e sostituire nuovamente le variabili:
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Funziona per orbite circolari. Per le orbite eccentriche, lapproccio usuale è semplicemente sostituire la distanza $ r $ con la distanza pericentro $ a \ left (1 – e \ right) $ dove $ a $ è il semiasse maggiore. Un approccio più rigoroso potrebbe essere quello di utilizzare la velocità angolare al pericentro e derivare da lì, ma lo lascio come esercizio per il lettore interessato 🙂
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+1Non ‘ t dimenticare il quod erat dimostrandum !
Risposta
La sfera della collina prende il nome da John William Hill (1812–1879) e la sua logica semplice deriva dalla presenza di tre corpi (supponiamo che il Sole sia la massa più grande con la Terra come massa secondaria e un satellite di massa trascurabile in orbita attorno alla Terra come terza massa), dove sarà il raggio della sfera di Hill il raggio più grande al quale un satellite potrebbe orbitare attorno alla massa secondaria (la Terra in questo caso). Se la sua orbita supera il raggio di Hills, allora cadrà sotto linfluenza gravitazionale del primo corpo (sole) e quindi non sarà più un satellite del corpo secondario.
Si potrebbero scrivere le equazioni di Newton utilizzando lidea che il satellite abbia la stessa velocità angolare delloggetto secondario.Questo è che, la velocità angolare della Terra attorno al sole è uguale alla velocità angolare del satellite attorno al sole. Una dimostrazione sulla derivazione è fornita nel seguente link, oltre a quella del limite di Roche: