La spiegazione e la comprensione di Layman ' delle ' equazioni di campo

Le equazioni di Einstein possono essere vagamente riassunte come la relazione principale tra la materia e la geometria dello spaziotempo . Cercherò di fornire una descrizione qualitativa del significato di ogni termine nellequazione. Tuttavia, dovrò avvertire i potenziali lettori che questa non sarà una risposta breve. Inoltre, lo farò astenersi dal cercare di derivare le equazioni in modo ” elementare “, poiché di certo non ne conosco nessuna.

Materia

Sul lato destro dellequa zione, la cosa più importante è laspetto del tensore energia-momento $ T _ {\ mu \ nu} $ . Codifica esattamente come la materia – intesa in senso lato, cioè qualsiasi mezzo che trasporta energia (o massa o quantità di moto o pressione) – è distribuita nelluniverso. Per capire come interpretare gli indici dei pedici del $ T $ , vedere la mia spiegazione del tensore metrico di seguito.

È moltiplicato per alcuni fondamentali costanti della natura $ \ Big ($ il fattore $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ ma questo non ha alcuna importanza cruciale: è possibile considerarli come strumenti di contabilità che tengono traccia delle unità delle quantità correlate dallequazione. In effetti, i fisici professionisti in genere si prendono la libertà ridefinire le nostre unità di misura al fine di semplificare laspetto delle nostre espressioni eliminando costanti fastidiose come questa. Unopzione particolare sarebbe scegliere ” unità di Planck ridotte “, in cui $ 8 \ pi G = 1 $ e $ c = 1 $ , in modo che il fattore diventi $ 1 $ .

Differenziale g eometria

Sul lato sinistro delle equazioni di Einstein, troviamo alcuni termini diversi, che insieme descrivono la geometria dello spaziotempo. La relatività generale è una teoria che utilizza il framework matematico noto come (semi-) geometria Riemanniana . In questo ramo della matematica, si studiano spazi che sono in un certo senso lisci e che sono dotati di una metrica . Proviamo prima a capire cosa significano queste due cose.

La proprietà di levigatezza può essere illustrata dallesempio intuitivo (e storicamente importante!) Di una superficie liscia (bidimensionale) in uno spazio tridimensionale ordinario . Immagina, ad esempio, la superficie di un pallone da calcio idealizzato, ovvero una 2 sfere. Ora, se si focalizza lattenzione su una porzione molto piccola della superficie (tenere la palla allaltezza del proprio viso), sembra che la palla sia praticamente piatta. Tuttavia, ovviamente non è globalmente piatto. Senza riguardo al rigore matematico, possiamo dire che gli spazi che hanno questa proprietà di apparire localmente piatti sono lisci in un certo senso. Matematicamente, si chiamano varietà. Naturalmente, una superficie globalmente piatta come un foglio di carta infinito è lesempio più semplice di tale spazio.

Nella geometria Riemanniana (e geometria differenziale più in generale) si studiano tali spazi lisci (varietà) di dimensione arbitraria. Una cosa importante da capire è che possono essere studiati senza immaginarli come incorporati in uno spazio di dimensioni superiori, cioè senza la visualizzazione che siamo stati in grado di utilizzare con il calcio, o qualsiasi altro riferimento a ciò che può o non può essere ” al di fuori ” dello spazio stesso.Uno dice che è possibile studiarli e la loro geometria, intrinsecamente .

La metrica

Quando si tratta di studiare intrinsecamente la geometria delle varietà, il principale oggetto di studio è la metrica (tensore). I fisici lo denotano tipicamente con $ g _ {\ mu \ nu} $ . In un certo senso, ci fornisce una nozione di distanza nella varietà. Considera una varietà bidimensionale con metrica e inserisci una ” griglia di coordinate ” su di essa, ovvero assegna a ciascun punto un insieme di due numeri, $ (x, y) $ . Quindi, la metrica può essere visualizzata come una matrice $ 2 \ times 2 $ con $ 2 ^ 2 = 4 $ inserimenti. Queste voci sono etichettate dagli indici $ \ mu, \ nu $ , che possono essere scelti ciascuno per essere uguale a $ x $ o $ y $ . La metrica può quindi essere interpretata semplicemente come un array di numeri:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Dovremmo anche diciamo che la metrica è definita in modo tale che $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , cioè è simmetrica rispetto ai suoi indici. Ciò implica che, nel nostro esempio, $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Ora, considera due punti vicini, in modo tale che la differenza di coordinate tra i due sia $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Possiamo denotarlo con notazione abbreviata come $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ dove $ \ mu $ può essere $ x $ o $ y \;, $ e $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ e $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Quindi definiamo il quadrato della distanza tra i due punti, chiamato $ \ mathrm {d} s \;, $ come

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Per avere unidea di come funziona in pratica, diamo unocchiata a due infiniti- spazio piatto dimensionale (cioè il foglio di carta sopra indicato), con due ” standard ” coordinate del piano $ x, y $ definito su di esso da una griglia quadrata. Quindi, sappiamo tutti dal teorema di Pitagora che

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Questo mostra che, in questo caso, la metrica naturale sullo spazio bidimensionale piatto è data da

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Ora che sappiamo come ” misurare ” le distanze tra i punti vicini , possiamo utilizzare una tecnica tipica della fisica di base e integrare piccoli segmenti per ottenere la distanza tra i punti che vengono ulteriormente rimossi:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Il ge la neralizzazione a dimensioni superiori è semplice.

Tensori di curvatura

Come ho cercato di sostenere in precedenza, il tensore metrico definisce la geometria del nostro collettore (o spaziotempo, nel caso fisico) . In particolare, dovremmo essere in grado di estrarre da esso tutte le informazioni rilevanti sulla curvatura del collettore. Questo viene fatto costruendo il tensore di Riemann (curvatura) $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , che è un oggetto molto complicato che può, in analogia con la visualizzazione dellarray della metrica, essere considerato come un array quadridimensionale, con ogni indice che può assumere $ N $ valori se sono presenti $ N $ coordinate $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ sul collettore (cioè se “abbiamo a che fare con uno spazio dimensionale $ N $ ). È definito puramente in termini di metrica in un modo complicato che non è troppo importante per ora.Questo tensore contiene praticamente tutte le informazioni sulla curvatura della varietà — e molto più di quanto noi fisici siamo tipicamente interessati. Tuttavia, a volte è utile dare una buona occhiata al tensore di Riemann se si vuole veramente sapere cosa sta succedendo.Ad esempio, un tensore di Riemann che scompare ovunque ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garantisce che lo spaziotempo è piatto. Un caso famoso in cui una cosa del genere è utile è nella metrica di Schwarzschild che descrive un buco nero, che sembra essere singolare nel raggio di Schwarzschild $ r = r_s \ neq 0 $ . Dopo aver esaminato il tensore di Riemann, diventa evidente che la curvatura è effettivamente finita qui, quindi si ha a che fare con una singolarità coordinata piuttosto che con un ” reale ” singolarità gravitazionale.

Prendendo alcune ” parti di ” il tensore di Riemann, possiamo scartare alcune delle informazioni che contiene in cambio di avere a che fare solo con un oggetto più semplice, il tensore di Ricci:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Questo è uno dei tensori che compare nelle equazioni di campo di Einstein. il secondo termine delle equazioni presenta lo scalare $ R $ di Ricci, che è definito ancora una volta dalla contrazione ( una parola di fantasia per ” sommando tutti i possibili valori di indice di alcuni indici “) il tensore di Ricci, questa volta con il inverso metrica $ g ^ {\ mu \ nu} $ che può essere costruita dalla solita metrica dallequazione

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {e} 0 \ \ text {altrimenti} $$

Come promesso, lo scalare di Ricci è la contrazione del tensore di Ricci e linverso metrica:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Naturalmente, lo scalare di Ricci ancora una volta contiene meno informazioni del tensore di Ricci, ma è ancora più facile da gestire Semplicemente moltiplicandolo per $ g _ {\ mu \ nu} $ ancora una volta produce un array bidimensionale, proprio come $ R _ {\ mu \ nu} $ e $ T _ {\ mu \ nu} $ sono. La particolare combinazione di tensori di curvatura che appare nelle equazioni di campo di Einstein è nota come tensore di Einstein

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

La costante cosmologica

Cè un termine che abbiamo tralasciato finora: il termine costante cosmologica $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Come suggerisce il nome, $ \ Lambda $ è semplicemente una costante che moltiplica la metrica. Questo termine a volte viene inserito dallaltra parte dellequazione, poiché $ \ Lambda $ può essere visto come una sorta di ” contenuto energetico ” delluniverso, che può essere raggruppato in modo più appropriato con il resto della materia codificata da $ T _ {\ mu \ nu} $ .

La costante cosmologica è principalmente di interesse perché fornisce una possibile spiegazione per la (in) famosa energia oscura che sembra spiegare certe importanti osservazioni cosmologiche. Che la costante cosmologica sia o meno davvero diversa da zero nel nostro universo è una questione aperta, come spiega il valore suggerito dalle osservazioni (il cosiddetto problema della costante cosmologica aka ” la peggiore previsione di fisica teorica mai fatta “, uno dei miei interessi personali).

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PS. Come sottolineato nei commenti, se ti è piaciuto, potresti anche leggere questa domanda e le risposte ad essa, che si rivolgono a quellaltro importante equazione della relatività generale, che descrive il movimento delle ” particelle di prova ” in spazi temporali curvi.

Lequazione di Einstein mette in relazione il contenuto dellargomento (lato destro dellequazione) con la geometria (lato sinistro) del sistema. Può essere riassunto con “la massa crea la geometria e la geometria agisce come la massa”.

Per maggiori dettagli, consideriamo cosè un tensore. Un tensore a due indici (che è quello che abbiamo nellequazione di Einstein), può essere pensato come una mappa che porta un vettore in un altro vettore. Ad esempio, il tensore dellenergia di sollecitazione prende un vettore di posizione e restituisce un vettore di quantità di moto (matematicamente, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, e sto mescolando vettori e co-vettori dappertutto per semplificare la discussione). Linterpretazione è che il lato destro dellequazione di Einstein ci dice la quantità di moto che sta attraversando una superficie definita dal vettore di posizione.

Anche il lato sinistro può essere interpretato in questo modo. La curvatura di Ricci $ R _ {\ mu \ nu} $ prende un vettore di posizione e restituisce un vettore che ci dice di quanto sta cambiando la curvatura attraverso la superficie definita da $ \ vec {x} $. Il secondo e il terzo termine, entrambi aventi fattori della metrica $ g _ {\ mu \ nu} $, ci dicono di quanto vengono modificate le misurazioni della distanza viaggiando lungo il vettore. Ci sono due contributi a questo cambiamento di distanza: la curvatura scalare $ R $ e $ \ Lambda $. Se $ R _ {\ mu \ nu} $ è “curvatura in una sola direzione”, $ R $ è la “curvatura totale”. $ \ Lambda $ è una costante che ci dice quanta energia innata ha lo spazio vuoto, facendo aumentare tutte le distanze per $ \ Lambda > 0 $.

Quindi , leggendo lequazione da destra a sinistra, lequazione di “Einstein” ci dice che la quantità di moto (massa in movimento) causa sia la curvatura che un cambiamento nel modo in cui vengono misurate le distanze. “Leggendo da sinistra a destra, lequazione di” Einstein “ci dice che la curvatura e il cambiamento la distanza si comporta proprio come la massa in movimento. “

Commenti

• Wow, ottima spiegazione semplificata.
• @levitopher Perché ‘ si chiama ” stress ” in stress-energy?
• It era OK: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

derivazione passo passo delle equazioni di campo di Einstein (EFE) nel mio blog: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Significato di EFE (di Wheeler): “Lo spazio-tempo dice alla materia come muoversi, la materia-energia dice allo spazio-tempo come curvare”

Semplici parole per EFE: “Geometry” = “Curvature” (nessuna torsione nella Relatività Generale implica che lenergia-momento sia simmetrica, come mostra essere il caso della metrica, del tensore di Ricci e del tensore di Einstein).

Un significato più serio è il seguente:

-Lato mancino: Il tensore di Einstein è composto da due (tre se si conta il termine cosmologico) pezzi. Misurano la curvatura causata da una metrica dello spaziotempo locale non costante (la metrica di Minkowski è uno spazio-tempo piatto, la gravità attivata implica che la metrica è un campo, cioè dipendente dalle coordinate spazio-temporali locali) e implica una curvatura locale misurata dalla curvatura scalare e dal tensore di Ricci, che combinati nel modo in cui Einstein (e Hilbert) facevano, fornisce una corrente priva di divergenza (cioè, conservazione dellenergia-quantità di moto equiparando al lato destro).

-Lato destro: energia-momento dei campi, provocando la deformazione dello spazio-tempo / curva / piega. Puoi aggiungere a questo lato il termine cosmologico, poi soprannominato energia oscura … Ne risulta che lenergia oscura è in qualche modo (con una certa cura) lenergia del vuoto spazio-tempo. E pensiamo che non sia solo diverso da zero, ma il principale ingrediente cosmico che produce la materia-energia al momento (circa il 70%, i satelliti WMAP + PLANCK sembrano essere daccordo con questo …).